جواب کاردرکلاس صفحه 95 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 1 صفحه 95 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین مهارت شما در استفاده از **قواعد مشتق‌گیری** (قاعده زنجیره‌ای، حاصل ضرب، و خارج قسمت) را آزمایش می‌کند. 💡 --- ## الف) $f(x) = \frac{1}{x - 4}$ از **قاعده خارج قسمت** استفاده می‌کنیم: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. در اینجا، $u = 1$ و $v = x - 4$. 1. **مشتق صورت و مخرج:** $$u' = 0$$ و $$v' = 1$$ 2. **اعمال قاعده:** $$f'(x) = \frac{(0)(x - 4) - (1)(1)}{(x - 4)^2} = \frac{0 - 1}{(x - 4)^2}$$ $$\mathbf{f'(x) = -\frac{1}{(x - 4)^2}}$$ **روش جایگزین (قاعده زنجیره‌ای):** $f(x) = (x - 4)^{-1}$. $$f'(x) = -1(x - 4)^{-2} \cdot (1) = -\frac{1}{(x - 4)^2}$$ --- ## ب) $g(x) = \sqrt{x} (3x^2 + 5)$ از **قاعده حاصل ضرب** استفاده می‌کنیم: $(u v)' = u'v + u v'$. در اینجا، $u = \sqrt{x} = x^{1/2}$ و $v = 3x^2 + 5$. 1. **مشتق صورت و مخرج:** $$u' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ و $$v' = 6x$$ 2. **اعمال قاعده:** $$g'(x) = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) (3x^2 + 5) + (\sqrt{x}) (6x)$$ 3. **ساده‌سازی (با مخرج مشترک $2\sqrt{x}$):** $$g'(x) = \frac{3x^2 + 5}{2\sqrt{x}} + \frac{(6x)(\sqrt{x})(2\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} = \frac{3x^2 + 5 + 12x^2}{2\sqrt{x}}$$ $$\mathbf{g'(x) = \frac{15x^2 + 5}{2\sqrt{x}}}$$ --- ## پ) $h(x) = \frac{x}{2x^2 + x - 1}$ از **قاعده خارج قسمت** استفاده می‌کنیم: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. در اینجا، $u = x$ و $v = 2x^2 + x - 1$. 1. **مشتق صورت و مخرج:** $$u' = 1$$ و $$v' = 4x + 1$$ 2. **اعمال قاعده:** $$h'(x) = \frac{(1)(2x^2 + x - 1) - (x)(4x + 1)}{(2x^2 + x - 1)^2}$$ 3. **ساده‌سازی صورت:** $$h'(x) = \frac{2x^2 + x - 1 - 4x^2 - x}{(2x^2 + x - 1)^2}$$ $$h'(x) = \frac{-2x^2 - 1}{(2x^2 + x - 1)^2}$$ $$\mathbf{h'(x) = -\frac{2x^2 + 1}{(2x^2 + x - 1)^2}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 2 صفحه 95 حسابان دوازدهم این تمرین کاربردی از **قواعد مشتق حاصل ضرب و خارج قسمت** در یک نقطه مشخص است. ما از مقادیر تابع و مشتق در نقطه $x=2$ استفاده می‌کنیم. 📐 **اطلاعات داده شده:** $$f'(2) = 3, \quad f(2) = 5, \quad g(2) = 8, \quad g'(2) = -6$$ --- ## 1. محاسبه $(fg)'(2)$ (مشتق حاصل ضرب) **قاعده حاصل ضرب:** $$(fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$$ **محاسبه در $x=2$:** $$(fg)'(2) = f'(2) g(2) + f(2) g'(2)$$ $$(fg)'(2) = (3)(8) + (5)(-6)$$ $$(fg)'(2) = 24 - 30 = -6$$ $$\mathbf{(fg)'(2) = -6}$$ --- ## 2. محاسبه $\left(\frac{f}{g}\right)'(2)$ (مشتق خارج قسمت) **قاعده خارج قسمت:** $$eft(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{(g(x))^2}$$ **محاسبه در $x=2$:** $$\left(\frac{f}{g}\right)'(2) = \frac{f'(2) g(2) - f(2) g'(2)}{(g(2))^2}$$ $$\left(\frac{f}{g}\right)'(2) = \frac{(3)(8) - (5)(-6)}{(8)^2}$$ $$\left(\frac{f}{g}\right)'(2) = \frac{24 - (-30)}{64}$$ $$\left(\frac{f}{g}\right)'(2) = \frac{24 + 30}{64} = \frac{54}{64}$$ **ساده‌سازی:** با تقسیم صورت و مخرج بر 2: $$\mathbf{\left(\frac{f}{g}\right)'(2) = \frac{27}{32}}$$