پاسخ فعالیت صفحه 90 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 90 حسابان دوازدهم سلام! این فعالیت برای تأیید و تمرین **قاعده مشتق تابع توان**، یعنی $\mathbf{\frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}}$ است. ما از این قاعده برای محاسبه مقادیر مشتق $f'(x)$ استفاده می‌کنیم. 📐 **تابع:** $$f(x) = x^2$$ **تابع مشتق:** $$f'(x) = 2x$$ --- ### 1. محاسبه مقادیر مشتق $f'(x)$ برای هر مقدار $x$ در جدول، کافی است $f'(x) = 2x$ را محاسبه کنیم: * **برای $x = -3$:** $$f'(-3) = 2(-3) = -6$$ * **برای $x = -2$:** $$f'(-2) = 2(-2) = -4$$ (در جدول داده شده) * **برای $x = -1$:** $$f'(-1) = 2(-1) = -2$$ * **برای $x = 0$:** $$f'(0) = 2(0) = 0$$ (در جدول داده شده) * **برای $x = \frac{1}{2}$:** $$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right) = 1$$ * **برای $x = \sqrt{3}$:** $$f'(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$$ (در جدول داده شده) * **برای $x = 2$:** $$f'(2) = 2(2) = 4$$ (در جدول داده شده) ### 2. تکمیل جدول | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ | $2$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $f'(x)$ | $\mathbf{-6}$ | $-4$ | $\mathbf{-2}$ | $0$ | $\mathbf{1}$ | $2\sqrt{3}$ | $4$ | --- ### 3. تحلیل نتایج (بررسی هندسی) * **شیب منفی:** در بازه $(-\infty, 0)$، شیب‌ها منفی هستند (تابع نزولی است). * **شیب صفر:** در $x=0$ (راس سهمی)، شیب صفر است (خط مماس افقی است). * **شیب مثبت:** در بازه $(0, +\infty)$، شیب‌ها مثبت هستند (تابع صعودی است).