جواب کاردرکلاس صفحه 87 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 87 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین به بررسی مشتق‌پذیری تابع $f(x) = |x-1|$ در **نقطه گوشه** $x=1$ می‌پردازد. این نقطه، نقطه‌ای است که در آن، مشتق چپ و مشتق راست با هم برابر نیستند و بنابراین مشتق کلی وجود ندارد. 💡 --- ### 1. بازنویسی تابع $f(x) = |x-1|$ تابع قدر مطلق در $x=1$ صفر می‌شود، پس ضابطه آن را به صورت زیر می‌نویسیم: $$f(x) = \begin{cases} x - 1 & x \geq 1 \\ -(x - 1) = -x + 1 & x < 1 \end{cases}$$ ### 2. محاسبه مشتق راست $f'_+(1)$ برای محاسبه مشتق راست، از ضابطه $f(x) = x - 1$ (وقتی $x \to 1^+$) و تعریف مشتق استفاده می‌کنیم: $$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$$ * **توجه:** $f(1) = 1 - 1 = 0$ $$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x - 1) - 0}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} 1 = 1$$ * **مشتق راست:** $$f'_+(1) = 1$$ ### 3. محاسبه مشتق چپ $f'_-(1)$ برای محاسبه مشتق چپ، از ضابطه $f(x) = -x + 1$ (وقتی $x \to 1^-$) و تعریف مشتق استفاده می‌کنیم: $$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$$ $$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{(-x + 1) - 0}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{-(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} (-1) = -1$$ * **مشتق چپ:** $$f'_-(1) = -1$$ --- ### 4. نتیجه‌گیری مشتق‌پذیری * **مقایسه:** چون مشتق راست ($1$) با مشتق چپ ($-1$) برابر نیستند ($f'_+(1) \neq f'_-(1)$)، تابع $f(x) = |x-1|$ در $x=1$ **مشتق‌پذیر نیست**. * **توضیح هندسی:** در $x=1$ نمودار دارای یک **نقطه گوشه** است و نمی‌توان یک خط مماس منحصر به فرد با یک شیب مشخص بر آن رسم کرد. --- ### 5. معادله نیم مماس‌های راست و چپ چون مشتق‌های یک طرفه موجود و متناهی هستند، نیم مماس‌های راست و چپ وجود دارند. نقطه تماس $(x_0, y_0)$ برابر با $(1, f(1)) = (1, 0)$ است. #### الف) نیم مماس راست ($m = f'_+(1) = 1$) $$y - y_0 = m_+(x - x_0)$$ $$y - 0 = 1 (x - 1)$$ $$\mathbf{y = x - 1}$$ #### ب) نیم مماس چپ ($m = f'_-(1) = -1$) $$y - y_0 = m_-(x - x_0)$$ $$y - 0 = -1 (x - 1)$$ $$\mathbf{y = -x + 1}$$ **پاسخ نهایی:** مشتق تابع در $x=1$ موجود نیست. معادله نیم مماس راست $athbf{y = x - 1}$ و معادله نیم مماس چپ $athbf{y = -x + 1}$ است.