جواب کاردرکلاس صفحه 85 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 85 حسابان دوازدهم سلام! این سوال در مورد بررسی **شرط لازم** مشتق‌پذیری در **نقاط مرزی (Boundary Points)** است. دلیل اصلی عدم وجود $g'(1)$ در اینجا، **ناپیوستگی (Discontinuity)** تابع در $x=1$ است. 🚀 --- ### 1. شرط لازم برای مشتق‌پذیری **قضیه:** اگر تابعی در نقطه‌ای مشتق‌پذیر باشد، آنگاه حتماً در آن نقطه **پیوسته** است. (به عبارت دیگر: اگر تابعی در نقطه‌ای ناپیوسته باشد، مشتق آن در آن نقطه موجود نیست.) ### 2. بررسی پیوستگی تابع $g(x)$ در $x=1$ برای پیوسته بودن تابع در $x=1$، باید سه شرط زیر برقرار باشد: $$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(1)$$ #### الف) محاسبه حد چپ (مقدار در $x \leq 1$) از ضابطه $g(x) = x^2$ استفاده می‌شود: $$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = (1)^2 = 1$$ #### ب) محاسبه حد راست (مقدار در $x > 1$) از ضابطه $g(x) = x + 1$ استفاده می‌شود: $$\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2$$ #### ج) محاسبه مقدار تابع در نقطه از ضابطه $g(x) = x^2$ استفاده می‌شود (چون $x \leq 1$): $$g(1) = (1)^2 = 1$$ ### 3. نتیجه‌گیری ناپیوستگی ما دیدیم که: $$ \lim_{x \to 1^-} g(x) = 1 \quad \text{و} \quad \lim_{x \to 1^+} g(x) = 2$$ چون **حد چپ (1) با حد راست (2) برابر نیست**، تابع $g(x)$ در $x=1$ **حد ندارد** و بنابراین **ناپیوسته** است. (این ناپیوستگی به وضوح در نمودار به شکل یک **پرش** نشان داده شده است). ### 4. پاسخ نهایی **چرا $g'(1)$ موجود نیست؟** به دلیل اینکه تابع $g(x)$ در $x=1$ **ناپیوسته** است، شرط لازم مشتق‌پذیری نقض شده است. بنابراین، $g'(1)$ **موجود نیست**.