پاسخ فعالیت صفحه 84 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 84 حسابان دوازدهم سلام! این فعالیت یک مثال کلاسیک برای نشان دادن این است که **شرط لازم** برای مشتق‌پذیر بودن یک تابع در یک نقطه، **پیوستگی** آن تابع در آن نقطه است. 💡 --- ### 1. تحلیل نمودار در $x = 2$ (نقطه مورد نظر) تابع $f(x)$ در $x=2$ یک **نقطه پرش یا ناپیوستگی** دارد: * **حد تابع در 2:** وقتی $x$ از چپ یا راست به 2 نزدیک می‌شود، مقدار تابع به مقدار $y = 2^2 = 4$ نزدیک می‌شود (نقطه دایره توخالی). $$\lim_{x \to 2} f(x) = 4$$ * **مقدار تابع در 2:** مقدار واقعی تابع در $x=2$ برابر با 1 است (نقطه دایره توپر). $$f(2) = 1$$ چون $\lim_{x \to 2} f(x) \neq f(2)$ (یعنی $4 \neq 1$)، تابع $f$ در $x=2$ **ناپیوسته** است. --- ### 2. تعریف مشتق و استدلال هندسی **مشتق $f'(2)$** به طور هندسی برابر است با **شیب خط مماس** بر منحنی $f$ در نقطه $(2, f(2))$. شیب خط مماس، حد شیب خطوط قاطع است: $$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$$ * **جایگذاری مقادیر:** $f(2) = 1$ و $f(x) = x^2$ (به ازای $x \neq 2$) $$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 1}{x - 2}$$ * **بررسی حد:** با جایگذاری $x=2$، کسر به حالت $\frac{2^2 - 1}{2 - 2} = \frac{3}{0}$ می‌رسد. این یک **حد نامتناهی** است (مقدار نهایی متناهی ندارد). $$\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 1}{x - 2} = \frac{3}{0^+} = +\infty$$ $$\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 1}{x - 2} = \frac{3}{0^-} = -\infty$$ ### 3. نتیجه‌گیری نهایی 1. **استدلال ناپیوستگی:** چون تابع $f$ در $x=2$ ناپیوسته است، پس نمی‌تواند در آن نقطه مشتق‌پذیر باشد. > **(قضیه: اگر $f$ در $a$ مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در $a$ پیوسته است. پس اگر ناپیوسته باشد، مشتق‌پذیر نیست.)** 2. **استدلال شیب مماس:** حد شیب خطوط قاطع (تعریف مشتق) به یک مقدار متناهی میل نمی‌کند (به $\pm \infty$ میل می‌کند). > **ما نمی‌توانیم یک خط مماس 'معین' و 'منحصر به فرد' را در نقطه ناپیوسته $(2, 1)$ رسم کنیم که شیب آن متناهی باشد.** **پاسخ:** چون تابع $f$ در $x=2$ **ناپیوسته** است، مشتق آن ($f'(2)$) **وجود ندارد.**