جواب کاردرکلاس پایین صفحه 80 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 80 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین به تحلیل مفاهیم مشتق (شیب خط مماس) به صورت تحلیلی و هندسی روی نمودار سهمی $f(x) = -x^2 + 10x$ می‌پردازد. **نقطه عطف (راس سهمی)** در $x=5$ است. 📈 --- ### 1. آمادگی: محاسبه مشتق تابع ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: $$f'(x) = \frac{d}{dx} (-x^2 + 10x) = -2x + 10$$ ### الف) محاسبه $f'(2)$، $f'(8)$ و $f'(5)$ * **$f'(2)$:** $$f'(2) = -2(2) + 10 = -4 + 10 = 6$$ * **$f'(8)$:** $$f'(8) = -2(8) + 10 = -16 + 10 = -6$$ * **$f'(5)$:** $$f'(5) = -2(5) + 10 = -10 + 10 = 0$$ --- ### ب) دو نقطه با مشتق‌های قرینه مشتق قرینه یعنی $f'(x_1) = -f'(x_2)$. از محاسبه‌های بخش الف، نقاط $x=2$ و $x=8$ این شرط را دارند: $$f'(2) = 6 \quad \text{و} \quad f'(8) = -6$$ **پاسخ:** نقاطی که طول آن‌ها **2** و **8** باشد (مانند $A(2, 16)$ و $B(8, 16)$) دارای مشتق‌های قرینه یکدیگر هستند. این به دلیل **تقارن** سهمی نسبت به خط $x=5$ (محور تقارن) است. --- ### پ) مشتق مثبت و منفی (تحلیل هندسی) **مشتق** نشان‌دهنده **شیب خط مماس** و **روند تغییرات تابع** است. 1. **مشتق مثبت (شیب مثبت):** در بازه‌ای که تابع **صعودی** باشد، خطوط مماس شیب مثبت دارند. * **بازه‌ای که $f'(x) > 0$ است:** $$x < 5 \quad \text{یا بازه } [0, 5)$$ * **توضیح:** در سمت چپ راس (قبل از $x=5$)، نمودار **رو به بالا** است (صعودی). 2. **مشتق منفی (شیب منفی):** در بازه‌ای که تابع **نزولی** باشد، خطوط مماس شیب منفی دارند. * **بازه‌ای که $f'(x) < 0$ است:** $$x > 5 \quad \text{یا بازه } (5, 10]$$ * **توضیح:** در سمت راست راس (بعد از $x=5$)، نمودار **رو به پایین** است (نزولی). --- ### ت) مقایسه شیب خطوط مماس بدون محاسبه شیب خط مماس نشان دهنده **تندی صعود یا نزول** است. * **$x=5$:** نقطه راس است. شیب خط مماس **صفر** است ($f'(5)=0$). * **$x=4$:** این نقطه نزدیک‌تر به راس است تا $x=3$. در هر دو نقطه، شیب مثبت است (صعودی). * **$x=3$:** این نقطه دورتر از راس است تا $x=4$. با نگاه به نمودار می‌بینیم: * **شیب در 5:** $m_5 = 0$ * **شیب در 4:** خط مماس کمی شیب دارد (تندی کم). * **شیب در 3:** خط مماس شیب بیشتری دارد (تندی زیاد). **حدس:** $$m_3 > m_4 > m_5$$ --- ### ث) بررسی صحت حدس (محاسبه $f'(3)$ و $f'(4)$) * **$f'(3)$:** $$f'(3) = -2(3) + 10 = 4$$ * **$f'(4)$:** $$f'(4) = -2(4) + 10 = -8 + 10 = 2$$ * **$f'(5)$:** $$f'(5) = 0$$ **مقایسه نهایی:** $$4 > 2 > 0$$ $$athbf{f'(3) > f'(4) > f'(5)}$$ **نتیجه:** حدس ما **صحیح** بود. هر چقدر از راس سهمی دورتر می‌شویم (در جهت صعود)، شیب خط مماس (نرخ تغییر لحظه‌ای) بیشتر می‌شود.