فعالیت صفحه 74 حسابان دوازدهم
الف) تابع $f(x) = -x^2 + 10x$ داده شده است. اگر $0 \leq x \leq 10$ نقاط $A(2, f(2))$، $B(6, f(6))$، $C(5, f(5))$، $D(4, f(4))$ و $E(3, f(3))$ را روی منحنی در نظر می‌گیریم. شیب خطی که از نقاط $A$ و $B$ می‌گذرد یعنی $m_{AB}$ از دستور زیر به دست می‌آید:
$$m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{f(6) - f(2)}{6 - 2} = \frac{24 - 16}{4} = \frac{8}{4} = 2$$
به همین روش شیب خطوط $m_{AC}$، $m_{AD}$ و $m_{AE}$ را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 74 حسابان دوازدهم
سلام دانش‌آموزان عزیز! این فعالیت مقدمه‌ای برای مفهوم **مشتق** است که با محاسبه **شیب خطوط قاطع (Secant Lines)** بین نقاط مختلف روی نمودار یک تابع، شروع می‌شود. شیب خط قاطع، **نرخ تغییرات میانگین** تابع را نشان می‌دهد.
---
### 1. محاسبه مقادیر تابع در نقاط داده شده
تابع ما $$f(x) = -x^2 + 10x$$ است.
* $f(2) = -(2)^2 + 10(2) = -4 + 20 = 16$. پس: $$A(2, 16)$$
* $f(6) = -(6)^2 + 10(6) = -36 + 60 = 24$. پس: $$B(6, 24)$$
* $f(5) = -(5)^2 + 10(5) = -25 + 50 = 25$. پس: $$C(5, 25)$$
* $f(4) = -(4)^2 + 10(4) = -16 + 40 = 24$. پس: $$D(4, 24)$$
* $f(3) = -(3)^2 + 10(3) = -9 + 30 = 21$. پس: $$E(3, 21)$$
### 2. محاسبه شیب خطوط قاطع
**فرمول شیب:** $$m_{XY} = \frac{y_Y - y_X}{x_Y - x_X}$$
#### الف) شیب خط $m_{AC}$
نقاط $A(2, 16)$ و $C(5, 25)$:
$$m_{AC} = \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{25 - 16}{3} = \frac{9}{3} = 3$$
#### ب) شیب خط $m_{AD}$
نقاط $A(2, 16)$ و $D(4, 24)$:
$$m_{AD} = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{24 - 16}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
#### پ) شیب خط $m_{AE}$
نقاط $A(2, 16)$ و $E(3, 21)$:
$$m_{AE} = \frac{f(3) - f(2)}{3 - 2} = \frac{21 - 16}{1} = \frac{5}{1} = 5$$
---
### خلاصه نتایج شیب خطوط قاطع
| خط قاطع | $\Delta x$ | $\Delta y$ | شیب ($m$) |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $m_{AB}$ | $6 - 2 = 4$ | $24 - 16 = 8$ | $2$ |
| $m_{AC}$ | $5 - 2 = 3$ | $25 - 16 = 9$ | $\mathbf{3}$ |
| $m_{AD}$ | $4 - 2 = 2$ | $24 - 16 = 8$ | $\mathbf{4}$ |
| $m_{AE}$ | $3 - 2 = 1$ | $21 - 16 = 5$ | $\mathbf{5}$ |
همانطور که می‌بینید، هرچه نقطه دوم (B, C, D, E) به نقطه ثابت A نزدیک‌تر می‌شود (یعنی $\Delta x$ کوچکتر می‌شود)، شیب خط قاطع به عدد **5** نزدیک‌تر می‌شود. این نزدیکی به یک عدد واحد، ما را به سمت تعریف **شیب خط مماس** (مشتق) در نقطه $A(2, 16)$ هدایت می‌کند.
