جواب کاردرکلاس صفحه 74 ریاضی دوازدهم

حل تمرین کار در کلاس صفحه 74 ریاضی دوازدهم تابع داده شده: $f(x) = -x^2 + 10x$. *** ### الف) محاسبه $f'(x)$، $f'(5)$ و $f'(8)$ 1. **محاسبه مشتق تابع $f'(x)$:** $$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 10x) = -2x + 10$$ 2. **محاسبه $f'(5)$:** $$f'(5) = -2(5) + 10 = -10 + 10 = \mathbf{0}$$ 3. **محاسبه $f'(8)$:** $$f'(8) = -2(8) + 10 = -16 + 10 = \mathbf{-6}$$ *** ### ب) دو نقطه با مشتق‌های قرینه مشتق یک تابع درجه دوم (سهمی) در دو نقطه متقارن نسبت به محور تقارن، قرینه یکدیگر است. محور تقارن این سهمی (رأس) در $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-1)} = 5$ قرار دارد (چون $f'(5) = 0$ است). نقطه $x_1$ و $x_2$ باید نسبت به $x=5$ متقارن باشند. $$\frac{x_1 + x_2}{2} = 5 \implies x_1 + x_2 = 10$$ $$\mathbf{\text{مثال پیشنهادی: } x_1 = 4 \text{ و } x_2 = 6}$$ $$\text{بررسی: } f'(4) = -2(4) + 10 = 2 \quad \text{و} \quad f'(6) = -2(6) + 10 = -2 \text{.}$$ $$\mathbf{\text{نقاط: } (4, 24) \text{ و } (6, 24)}$$ *** ### پ) توضیح مشتق مثبت و منفی از روی نمودار مشتق در یک نقطه، شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است. 1. **مشتق مثبت:** در بازه‌ای که تابع **صعودی** است (نمودار از چپ به راست بالا می‌رود)، شیب خط مماس مثبت است. $$\mathbf{\text{بازه مشتق مثبت: } ,0 5) \text{ }}$$ 2. **مشتق منفی:** در بازه‌ای که تابع **نزولی** است \text{ (مانند نقاط سمت راست رأس)}}$$ *** ### ت) مقایسه شیب خطوط مماس در $x=3$ و $x=4$ (بدون محاسبه) هر دو نقطه $x=3$ و $x=4$ در بخش صعودی نمودار (سمت چپ رأس) قرار دارند، لذا شیب مماس در هر دو مثبت است. * **نقطه $x=3$:** دورتر از رأس ($x=5$) قرار دارد. * **نقطه $x=4$:** نزدیک‌تر به رأس ($x=5$) قرار دارد. $$\mathbf{\text{حدس:}} \text{ چون شیب مماس با نزدیک شدن به رأس (} x=5 \text{) به صفر نزدیک می‌شود، لذا شیب در } x=3 \text{ باید بزرگتر از شیب در } x=4 \text{ باشد.}$$ $$\mathbf{f'(3) > f'(4)}$$ *** ### ث) بررسی صحت حدس با محاسبه $f'(3)$ و $f'(4)$ 1. **محاسبه $f'(3)$:** $$f'(3) = -2(3) + 10 = -6 + 10 = \mathbf{4}$$ 2. **محاسبه $f'(4)$:** $$f'(4) = -2(4) + 10 = -8 + 10 = \mathbf{2}$$ $$\mathbf{\text{بررسی:}} \text{ چون } 4 > 2 \text{ است، حدس } f'(3) > f'(4) \text{ صحیح است.}$$