تابع $f(x) = -x^2 + 10x$ داده شده است. اگر $0 \le x \le 10$، نقاط $A(2, f(2))$، $B(6, f(6))$، $C(5, f(5))$، $D(4, f(4))$، و $E(3, f(3))$ را روی منحنی در نظر می‌گیریم. شیب خطی که از نقاط $A$ و $B$ می‌گذرد یعنی $m_{AB}$ از دستور زیر به دست می‌آید:
$$m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{f(6) - f(2)}{6 - 2} = \frac{24 - 16}{4} = \frac{8}{4} = 2$$
به همین روش $m_{AC}$، $m_{AD}$ و $m_{AE}$ را به دست آورید.
حل تمرین فعالیت صفحه 68 ریاضی دوازدهم
تابع: $f(x) = -x^2 + 10x$.
ابتدا مقادیر تابع را در نقاط داده شده محاسبه می‌کنیم:
* $f(2) = -(2)^2 + 10(2) = -4 + 20 = 16$. $$\mathbf{A(2, 16)}$$
* $f(3) = -(3)^2 + 10(3) = -9 + 30 = 21$. $$\mathbf{E(3, 21)}$$
* $f(4) = -(4)^2 + 10(4) = -16 + 40 = 24$. $$\mathbf{D(4, 24)}$$
* $f(5) = -(5)^2 + 10(5) = -25 + 50 = 25$. $$\mathbf{C(5, 25)}$$
* $f(6) = -(6)^2 + 10(6) = -36 + 60 = 24$. $$\mathbf{B(6, 24)}$$
حال، شیب خطوط بین نقطه ثابت $A(2, 16)$ و سایر نقاط را محاسبه می‌کنیم. (شیب خطوط قاطع)
***
### 1. محاسبه $m_{AC}$
$$m_{AC} = \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{25 - 16}{3} = \frac{9}{3} = \mathbf{3}$$
***
### 2. محاسبه $m_{AD}$
$$m_{AD} = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{24 - 16}{2} = \frac{8}{2} = \mathbf{4}$$
***
### 3. محاسبه $m_{AE}$
$$m_{AE} = \frac{f(3) - f(2)}{3 - 2} = \frac{21 - 16}{1} = \frac{5}{1} = \mathbf{5}$$
***
**نتیجه‌گیری:** هرچه فاصله افقی بین دو نقطه کاهش می‌یابد (نقاط $A$ و $E$, $D$, $C$ به ترتیب به هم نزدیک می‌شوند)، شیب خطوط قاطع (میانگین نرخ تغییر) به یک مقدار ثابت نزدیک می‌شود. (مقادیر شیب‌ها: $m_{AB} = 2$, $m_{AC} = 3$, $m_{AD} = 4$, $m_{AE} = 5$).
