حدود زیر را محاسبه کنید:
الف) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - 5x + 4}{\sqrt{x^6 - 11x^2 - 6x}}$
ب) $\lim_{x \to -\infty} \frac{5x + 4}{\sqrt{x^4} + x - 8}$
پ) $\lim_{x \to -\infty} \frac{-4x^2 + 5x^3}{2x^2 + 9}$
حل تمرین کار در کلاس صفحه 63 ریاضی دوازدهم
برای محاسبه حد توابع در بی‌نهایت، کافی است نسبت جملات با **بزرگترین توان** را در صورت و مخرج در نظر بگیریم.
***
### الف) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - 5x + 4}{\sqrt{x^6 - 11x^2 - 6x}}$
1. **تعیین بزرگترین توان‌ها:**
* **صورت:** $2x^3$
* **مخرج:** $\sqrt{x^6} = |x^3|$.
2. **محاسبه حد:** چون $x \to +\infty$，پس $|x^3| = x^3$.
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - 5x + 4}{\sqrt{x^6 - 11x^2 - 6x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3}{x^3} = \mathbf{2}$$
***
### ب) $\lim_{x \to -\infty} \frac{5x + 4}{\sqrt{x^4} + x - 8}$
1. **تعیین بزرگترین توان‌ها:**
* **صورت:** $5x$ (درجه ۱)
* **مخرج:** $\sqrt{x^4} = |x^2|$.
2. **محاسبه حد:** چون $x \to -\infty$，پس $|x^2| = x^2$. (درجه مخرج ۲ و درجه صورت ۱ است، پس حد صفر است.)
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{5x + 4}{\sqrt{x^4} + x - 8} = \lim_{x \to -\infty} \frac{5x}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{5}{x}$$
$$\mathbf{= 0}$$
***
### پ) $\lim_{x \to -\infty} \frac{-4x^2 + 5x^3}{2x^2 + 9}$
1. **تعیین بزرگترین توان‌ها:**
* **صورت:** $5x^3$
* **مخرج:** $2x^2$
2. **محاسبه حد:** (درجه صورت از درجه مخرج بزرگتر است، پس حد بی‌نهایت است.)
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{-4x^2 + 5x^3}{2x^2 + 9} = \lim_{x \to -\infty} \frac{5x^3}{2x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{5}{2} x$$
$$\mathbf{\text{چون } x \to -\infty \text{، پس } \frac{5}{2} x \to -\infty}$$
$$\mathbf{= -\infty}$$
