پاسخ فعالیت صفحه 58 ریاضی دوازدهم

حل تمرین فعالیت صفحه 58 ریاضی دوازدهم مسئله در مورد یافتن الگوی مساحت رنگ شده ($A_n$) در یک مربع با مساحت کل $1$ متر مربع است. ### 1. یافتن الگو در مساحت رنگ شده مساحت‌های رنگ شده در مراحل اولیه به صورت زیر است: * $\text{مرحله } 1: A_1 = \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$ * $\text{مرحله } 2: A_2 = \frac{3}{4} = 1 - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{2^2}$ * $\text{مرحله } 3: A_3 = \frac{7}{8} = 1 - \frac{1}{8} = 1 - \frac{1}{2^3}$ از الگو مشاهده می‌شود که مساحت رنگ نشده در مرحله $n$ام برابر $\frac{1}{2^n}$ است. ### الف) در مرحله دهم، چه سطحی از مربع رنگ شده است؟ با استفاده از الگو، مساحت رنگ شده در مرحله دهم ($n=10$) برابر است با: $$A_{10} = 1 - \frac{1}{2^{10}}$$ $$\text{چون } 2^{10} = 1024 \text{ است:}$$ $$A_{10} = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1024 - 1}{1024} = \mathbf{\frac{1023}{1024} \text{ متر مربع}}$$ --- ### ب) در مرحله $n$ام، چه سطحی از مربع رنگ شده است؟ بر اساس الگو، ضابطه مساحت رنگ شده در مرحله $n$ام به صورت زیر است: $$\mathbf{A_n = 1 - \frac{1}{2^n} \text{ متر مربع}}$$ --- ### پ) اگر $n$ به قدر کافی بزرگ اختیار شود، در مورد مساحت سطح رنگ شده در مرحله $n$ام چه می‌توان گفت؟ اگر $n$ به قدر کافی بزرگ شود (یعنی $n \to \infty$)، مقدار $\frac{1}{2^n}$ به سمت صفر میل می‌کند: $$\lim_{n \to \infty} A_n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right)$$ $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$$ $$\lim_{n \to \infty} A_n = 1 - 0 = 1$$ $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ اگر } n \text{ به قدر کافی بزرگ انتخاب شود، مساحت سطح رنگ شده به } 1 \text{ متر مربع (مساحت کل مربع) بسیار نزدیک می‌شود.}$$ $$\text{به عبارت دیگر، مساحت رنگ نشده (}\frac{1}{2^n}\text{) به صفر میل می‌کند. این مفهوم **حد دنباله** است.}$$