پاسخ فعالیت صفحه 54 ریاضی دوازدهم

حل تمرین فعالیت صفحه 54 ریاضی دوازدهم ### 1. تکمیل جدول مقدار $f(x) = \frac{1}{x^2}$ را برای هر مقدار $x$ در جدول محاسبه می‌کنیم. توجه داشته باشید که چون $x$ به توان زوج رسیده است، خروجی برای مقادیر مثبت و منفی $x$ یکسان خواهد بود. * $f(-0.01) = \frac{1}{(-0.01)^2} = \frac{1}{0.0001} = \mathbf{10,000}$ * $f(0.01) = \frac{1}{(0.01)^2} = \mathbf{10,000}$ * $f(0.1) = \frac{1}{(0.1)^2} = \frac{1}{0.01} = \mathbf{100}$ جدول کامل شده: | $x$ | $-0.2$ | $-0.1$ | $-0.01$ | $-0.001$ | $\to 0^-$ | $0 \leftarrow$ | $0.001$ | $0.01$ | $0.1$ | $0.2$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $f(x) = \frac{1}{x^2}$ | $25$ | $100$ | $\mathbf{10,000}$ | $1,000,000$ | $\mathbf{\to +\infty \leftarrow}$ | $\mathbf{+\infty}$ | $1,000,000$ | $\mathbf{10,000}$ | $\mathbf{100}$ | $25$ | ### 2. بررسی رفتار تابع $f(x)$ در همسایگی محذوف صفر 1. **حد چپ ($x \to 0^-$):** وقتی $x$ از مقادیر منفی به صفر نزدیک می‌شود (مثلاً $-0.001, -0.0001, \dots$)، مخرج $\mathbf{x^2}$ یک عدد بسیار کوچک و **مثبت** می‌شود. در نتیجه مقدار $\frac{1}{x^2}$ به سمت $+\infty$ میل می‌کند. $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^2} = +\infty$$ 2. **حد راست ($x \to 0^+$):** وقتی $x$ از مقادیر مثبت به صفر نزدیک می‌شود (مثلاً $0.001, 0.0001, \dots$)، مخرج $\mathbf{x^2}$ یک عدد بسیار کوچک و **مثبت** می‌شود. در نتیجه مقدار $\frac{1}{x^2}$ به سمت $+\infty$ میل می‌کند. $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = +\infty$$ ### 3. نتیجه‌گیری حد چون حد چپ و حد راست در $x=0$ هر دو به $+\infty$ میل می‌کنند، حد کلی تابع در این نقطه برابر با $+\infty$ است. $$\mathbf{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty}$$ **توضیح:** این تابع در $x=0$ یک **مجانب قائم** دارد و حد آن در این نقطه به سمت بی‌نهایت میل می‌کند، بنابراین حد آن یک **عدد حقیقی** نیست و حد به معنای رایج وجود ندارد.