در چندجمله‌ای $f(x) = 3x^2 - 5x - 2$، مقدار $f(2)$ برابر صفر است. بنابراین $f(x)$ بر $(x - 2)$ بخش‌پذیر است. با تکمیل مراحل تقسیم، درستی این مطلب را بررسی کنید.
$$\begin{array}{r|l}
3x^2 - 5x - 2 & x - 2 \-(3x^2 - 6x) & 3x + \dots \\cline{1-1}
x - 2 & \-(\dots) & \\cline{1-1}
R = \dots & \\end{array}$$
بنابر رابطه تقسیم داریم: $f(x) = 3x^2 - 5x - 2 = (x - 2)(3x + \dots) + R$. همانگونه که دیده می‌شود، $f(x)$ به صورت حاصل ضرب عامل‌های آن نوشته شده است.
حل تمرین کار در کلاس صفحه 51 ریاضی دوازدهم
### 1. تکمیل مراحل تقسیم
چون $f(x)$ بر $(x-2)$ بخش‌پذیر است، انتظار داریم باقیمانده ($R$) برابر صفر باشد.
1. **گام اول:** $3x^2 \div x = 3x$. خارج قسمت $3x$ است.
* تفریق: $(3x^2 - 5x) - (3x^2 - 6x) = x$. $x - 2$ باقی می‌ماند.
2. **گام دوم:** $x \div x = 1$. خارج قسمت $1$ به $3x$ اضافه می‌شود.
* حاصل ضرب $1(x - 2) = x - 2$.
* جای خالی داخل پرانتز: $-(\mathbf{x - 2})$
* با تفریق: $(x - 2) - (x - 2) = 0$.
$$\begin{array}{r|l}
3x^2 - 5x - 2 & x - 2 \-(3x^2 - 6x) & 3x + \mathbf{1} \\cline{1-1}
x - 2 & \-(\mathbf{x - 2}) & \\cline{1-1}
R = \mathbf{0} & \\end{array}$$
### 2. تکمیل رابطه تقسیم
خارج قسمت برابر $3x + 1$ و باقیمانده $R = 0$ است.
$$f(x) = 3x^2 - 5x - 2 = (x - 2)(3x + \mathbf{1}) + \mathbf{0}$$
$$\mathbf{f(x) = (x - 2)(3x + 1)}$$
**نتیجه:** چون باقیمانده تقسیم برابر $R=0$ است، درستی این مطلب که $f(x)$ بر $(x - 2)$ بخش‌پذیر است، بررسی شد.
چندجمله‌ای $g(x) = 2x^3 + x^2 + 1$ را در نظر بگیرید.
الف) آیا $g(x)$ بر $(x + 1)$ بخش‌پذیر است؟ چرا؟
ب) با انجام تقسیم، درستی ادعای خود را بررسی کنید.
پ) $g(x)$ را به صورت حاصل ضرب عامل‌ها بنویسید.
$$\frac{2x^3 + x^2 + 1}{x + 1}$$
حل تمرین 2 صفحه 51 ریاضی دوازدهم
### الف) آیا $g(x)$ بر $(x + 1)$ بخش‌پذیر است؟ چرا؟
از **قضیه باقیمانده و عامل‌ها** استفاده می‌کنیم. چندجمله‌ای $g(x)$ بر دوجمله‌ای $(x - a)$ بخش‌پذیر است، اگر باقیمانده تقسیم $R$ برابر صفر باشد. باقیمانده برابر $g(a)$ است.
مقسوم‌علیه $(x + 1)$ است، پس ریشه آن $a = -1$ است. مقدار $g(-1)$ را محاسبه می‌کنیم:
$$g(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 + 1$$
$$g(-1) = 2(-1) + 1 + 1$$
$$g(-1) = -2 + 2 = 0$$
$$\mathbf{\text{پاسخ: بله، } g(x) \text{ بر } (x + 1) \text{ بخش‌پذیر است.}}$$
$$\mathbf{\text{دلیل:}} \text{ طبق قضیه عامل‌ها، چون } g(-1) = 0 \text{ است، باقیمانده تقسیم صفر است و } (x + 1) \text{ یک عامل } g(x) \text{ است.}}$$
---
### ب) بررسی درستی ادعا با انجام تقسیم
تقسیم $2x^3 + x^2 + 0x + 1$ بر $x + 1$ را انجام می‌دهیم:
$$\begin{array}{r|l}
2x^3 + x^2 + 0x + 1 & x + 1 \-(2x^3 + 2x^2) & 2x^2 - x + 1 \\cline{1-1}
-x^2 + 0x & \-(-x^2 - x) & \\cline{1-1}
x + 1 & \-(x + 1) & \\cline{1-1}
0 & \\end{array}$$
$$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ باقیمانده تقسیم } R = 0 \text{ است. این درستی ادعا را تأیید می‌کند.}$$
$$\mathbf{\text{خارج قسمت: } Q(x) = 2x^2 - x + 1}$$
---
### پ) نوشتن $g(x)$ به صورت حاصل ضرب عامل‌ها
از رابطه تقسیم استفاده می‌کنیم: $g(x) = (x + 1) Q(x) + R$
$$g(x) = (x + 1) (2x^2 - x + 1) + 0$$
$$\mathbf{g(x) = (x + 1)(2x^2 - x + 1)}$$
**توجه:** برای تجزیه بیشتر $2x^2 - x + 1$، $\Delta$ را بررسی می‌کنیم: $\Delta = (-1)^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7$. چون $\Delta < 0$، این عامل درجه دوم تجزیه حقیقی بیشتری ندارد.
نشان دهید چندجمله‌ای $f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 10$ بر دوجمله‌ای $x + 2$ بخش‌پذیر است.
حل تمرین 3 صفحه 51 ریاضی دوازدهم
برای نشان دادن بخش‌پذیری چندجمله‌ای $f(x)$ بر $(x + 2)$، باید طبق **قضیه عامل‌ها** ثابت کنیم که باقیمانده تقسیم برابر صفر است. باقیمانده تقسیم بر $(x - a)$ برابر $f(a)$ است.
مقسوم‌علیه $(x + 2)$ است، پس ریشه آن $a = -2$ است. مقدار $f(-2)$ را محاسبه می‌کنیم:
$$f(-2) = 2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 3(-2) - 10$$
$$f(-2) = 2(-8) + 5(4) - (-6) - 10$$
$$f(-2) = -16 + 20 + 6 - 10$$
$$f(-2) = 4 + 6 - 10$$
$$f(-2) = 10 - 10 = 0$$
$$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ چون } f(-2) = 0 \text{ است، باقیمانده تقسیم صفر است.}$$
$$\mathbf{\text{بنابراین، چندجمله‌ای } f(x) \text{ بر دوجمله‌ای } (x + 2) \text{ بخش‌پذیر است.}}$$
