الف) چندجمله‌ای $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ را بر دو جمله‌ای درجه اول $(x - 3)$ تقسیم کرده‌ایم. جاهای خالی را پر کنید:
$$\begin{array}{r|l}
2x^2 - 5x + 1 & x - 3 \-(2x^2 - 6x) & 2x + \Box \\cline{1-1}
x + 1 & \-(\Box - 3) & \\cline{1-1}
4 & \\end{array}$$
ب) اگر در تقسیم بالا، باقیمانده را با $R$ نشان دهیم، داریم: $R = \dots$
پ) مقدار $f(3)$ را محاسبه کنید.
ت) $f(3)$ و $R$ چه رابطه‌ای با هم دارند؟
ث) رابطه تقسیم را کامل کنید:
$$2x^2 - 5x + 1 = (x - 3)(2x + \Box) + 4$$
حل تمرین فعالیت صفحه 50 ریاضی دوازدهم
### الف) تکمیل تقسیم چندجمله‌ای
تقسیم $2x^2 - 5x + 1$ بر $x - 3$ را انجام می‌دهیم:
1. **گام اول:** $2x^2 \div x = 2x$. خارج قسمت فعلی $2x$ است.
* حاصل ضرب $2x(x - 3) = 2x^2 - 6x$.
* جای خالی اول: $-(2x^2 - 6x)$
* با تفریق: $(2x^2 - 5x) - (2x^2 - 6x) = x$. $1$ به پایین می‌آید: $x + 1$.
* جای خالی در خارج قسمت: $2x \mathbf{+ 1}$ (زیرا $(x) \div x = 1$)
2. **گام دوم:** $x \div x = 1$. خارج قسمت $1$ به $2x$ اضافه می‌شود.
* حاصل ضرب $1(x - 3) = x - 3$.
* جای خالی دوم: $-(x - 3)$
* با تفریق: $(x + 1) - (x - 3) = 1 - (-3) = 4$.
$$\begin{array}{r|l}
2x^2 - 5x + 1 & x - 3 \-(2x^2 - 6x) & 2x + 1 \\cline{1-1}
x + 1 & \-(x - 3) & \\cline{1-1}
4 & \\end{array}$$
### ب) مقدار باقیمانده $R$
باقیمانده تقسیم عدد نهایی است که در خط آخر به دست آمده است:
$$\mathbf{R = 4}$$
### پ) محاسبه $f(3)$
مقدار چندجمله‌ای $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ را در $x = 3$ محاسبه می‌کنیم:
$$f(3) = 2(3)^2 - 5(3) + 1$$
$$f(3) = 2(9) - 15 + 1$$
$$f(3) = 18 - 15 + 1 = 4$$
$$\mathbf{f(3) = 4}$$
### ت) رابطه بین $f(3)$ و $R$
مشاهده می‌شود که مقدار باقیمانده تقسیم ($R=4$) برابر با مقدار چندجمله‌ای در ریشه مقسوم‌علیه ($f(3)=4$) است.
$$\mathbf{\text{نتیجه: } f(3) = R}$$
این همان قضیه باقیمانده است که در قسمت بعدی فعالیت بررسی می‌شود.
### ث) تکمیل رابطه تقسیم
رابطه تقسیم (مقسوم = مقسوم‌علیه $\times$ خارج قسمت $+$ باقیمانده) به صورت زیر است:
$$2x^2 - 5x + 1 = (x - 3)(2x + \mathbf{1}) + 4$$
الف) اکنون می‌خواهیم در حالت کلی چندجمله‌ای دلخواه $f(x)$ را بر دوجمله‌ای درجه اول $(x - a)$ تقسیم کنیم. فرض کنیم خارج قسمت این تقسیم، چندجمله‌ای $Q(x)$ و باقیمانده آن عدد ثابت $R$ باشد:
$$\frac{f(x)}{x - a} \quad \text{خارج قسمت } Q(x)$$
$$\text{باقیمانده } R$$
رابطه تقسیم به صورت زیر است:
$$f(x) = (x - a) Q(x) + R$$
این رابطه، به ازای تمام مقادیر $x$ درست است؛ از جمله به ازای $x = a$. با قرار دادن $a$ به جای $x$ در دو طرف رابطه فوق خواهیم داشت:
$$f(a) = (\dots - a) Q(\dots) + R$$
ب) از رابطه اخیر مقدار $R$ را به دست آورید.
حل تمرین فعالیت صفحه 50 ریاضی دوازدهم
این تمرین به اثبات **قضیه باقیمانده (Remainder Theorem)** می‌پردازد.
### الف) جایگذاری $x = a$ در رابطه تقسیم
رابطه تقسیم عمومی به ازای $x = a$ به صورت زیر در می‌آید:
$$f(a) = (a - a) Q(a) + R$$
$$\text{پس جای خالی‌ها عبارتند از:}$$
$$\mathbf{f(a) = (a - a) Q(a) + R}$$
### ب) به دست آوردن مقدار $R$
با توجه به اینکه $(a - a)$ برابر صفر است، عبارت $(a - a) Q(a)$ به صفر تبدیل می‌شود:
$$f(a) = (0) \times Q(a) + R$$
$$f(a) = 0 + R$$
$$R = f(a)$$
$$\mathbf{\text{نتیجه: مقدار باقیمانده تقسیم } R \text{ برابر است با: } R = f(a)}$$
**توضیح (قضیه باقیمانده):** باقیمانده تقسیم چندجمله‌ای $f(x)$ بر دوجمله‌ای درجه اول $(x - a)$، برابر با مقدار چندجمله‌ای در ریشه مقسوم‌علیه ($x=a$) است.
