حل مسائل 7و8 فصل سوم فیزیک دوازدهم تجربی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ آخر فصل سوم فیزیک دوازدهم سلام! این یک مسئله کلاسیک در مورد نوسانگر جرم و فنر هست. بیا با هم قسمت‌های مختلفش رو حل کنیم. **داده‌های مسئله و تبدیل واحدها:** * جرم جسم: $m = 1.0 \, \text{kg}$ * ثابت فنر: $k = 6.0 \, \text{N/cm}$. این واحد استاندارد نیست، باید به N/m تبدیل بشه. چون هر متر ۱۰۰ سانتی‌متره، پس $k = 6.0 \frac{\text{N}}{\text{cm}} \times \frac{100 \, \text{cm}}{1 \, \text{m}} = 600 \, \text{N/m}$. * فشردگی اولیه: $x = 9.0 \, \text{cm} = 0.09 \, \text{m}$. --- **الف) دامنه نوسان (A) و تندی بیشینه ($v_{max}$)** **دامنه نوسان (A):** چون جسم از حالت فشرده **رها می‌شود** (یعنی سرعت اولیه‌اش صفر است)، این فشردگی اولیه، **بیشترین فاصله از نقطه تعادل** خواهد بود. بنابراین، دامنه نوسان همان فشردگی اولیه است. $A = 9.0 \, \text{cm} = 0.09 \, \text{m}$ **تندی بیشینه ($v_{max}$):** تندی بیشینه در حرکت هماهنگ ساده، در **نقطه تعادل (x=0)** رخ می‌دهد، جایی که تمام انرژی پتانسیل به انرژی جنبشی تبدیل شده است. فرمول تندی بیشینه این است: $v_{max} = A\omega$ برای استفاده از این فرمول، اول باید **بسامد زاویه‌ای ($\omega$)** رو حساب کنیم: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{600 \, \text{N/m}}{1.0 \, \text{kg}}} = \sqrt{600} \approx 24.5 \, \text{rad/s}$ حالا می‌تونیم تندی بیشینه رو محاسبه کنیم: $v_{max} = A\omega = (0.09 \, \text{m}) \times (24.5 \, \text{rad/s}) \approx 2.2 \, \text{m/s}$ **پاسخ الف: دامنه نوسان ۰.۰۹ متر و تندی بیشینه حدود ۲.۲ متر بر ثانیه است.** --- **ب) انرژی پتانسیل کشسانی ($U_e$) وقتی $v = 1.6 \, \text{m/s}$** برای حل این قسمت، از **قانون پایستگی انرژی مکانیکی** استفاده می‌کنیم. چون اصطکاک نداریم، انرژی کل مکانیکی سیستم ($E$) در تمام لحظات ثابت است. انرژی کل برابر است با انرژی پتانسیل بیشینه (در نقطه $x=A$) یا انرژی جنبشی بیشینه (در نقطه $x=0$). $E = U_{max} = \frac{1}{2}kA^2$ ابتدا انرژی کل سیستم رو محاسبه می‌کنیم: $E = \frac{1}{2}(600 \, \text{N/m})(0.09 \, \text{m})^2 = \frac{1}{2}(600)(0.0081) = 2.43 \, \text{J}$ انرژی کل در هر لحظه برابر است با مجموع انرژی جنبشی (K) و انرژی پتانسیل کشسانی ($U_e$): $E = K + U_e$ ما انرژی پتانسیل ($U_e$) رو در لحظه‌ای می‌خوایم که تندی $v=1.6 \, m/s$ است. پس اول انرژی جنبشی در این لحظه رو حساب می‌کنیم: $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(1.0 \, \text{kg})(1.6 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2}(1.0)(2.56) = 1.28 \, \text{J}$ حالا با داشتن انرژی کل و انرژی جنبشی، انرژی پتانسیل رو پیدا می‌کنیم: $U_e = E - K = 2.43 \, \text{J} - 1.28 \, \text{J} = 1.15 \, \text{J}$ **پاسخ ب: وقتی تندی جسم ۱.۶ متر بر ثانیه است، انرژی پتانسیل کشسانی آن ۱.۱۵ ژول است.**

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ آخر فصل سوم فیزیک دوازدهم سلام! این سوال از ما می‌خواد که با داشتن معادله حرکت یک نوسانگر، اطلاعات مختلفی رو در مورد حرکتش استخراج کنیم. بیا با هم تحلیلش کنیم. **تحلیل معادله حرکت:** معادله داده شده: $x = (0.050) \cos(20\pi t)$. این معادله در فرم استاندارد $x = A \cos(\omega t)$ است. با مقایسه این دو، پارامترهای اصلی حرکت رو پیدا می‌کنیم: * **دامنه (A):** $A = 0.050 \, \text{m}$ * **بسامد زاویه‌ای ($\omega$):** $\omega = 20\pi \, \text{rad/s}$ از روی بسامد زاویه‌ای، می‌تونیم **دوره تناوب (T)** رو هم حساب کنیم: $\omega = \frac{2\pi}{T} \implies T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20\pi} = \frac{1}{10} = 0.1 \, \text{s}$ --- **الف) زمان رسیدن به بیشترین تندی** * **مفهوم:** تندی نوسانگر وقتی **بیشینه** است که از **نقطه تعادل ($x=0$)** عبور می‌کند. * **تحلیل حرکت:** معادله ما از نوع **کسینوسی** است، یعنی حرکت از نقطه $x=+A$ در لحظه $t=0$ شروع شده. نوسانگر برای اولین بار پس از شروع حرکت، در زمان **یک چهارم دوره تناوب** به نقطه تعادل می‌رسد. * **محاسبه:** $t = \frac{T}{4} = \frac{0.1 \, \text{s}}{4} = 0.025 \, \text{s}$ **پاسخ الف: در زمان ۰.۰۲۵ ثانیه.** --- **ب) زمان رسیدن به تندی صفر** * **مفهوم:** تندی نوسانگر وقتی **صفر** است که در **نقاط بازگشت ($x = \pm A$)** قرار دارد؛ یعنی جایی که تغییر جهت می‌دهد. * **تحلیل حرکت:** در $t=0$ نوسانگر در $x=+A$ است و تندی‌اش صفر است. سوال «پس از لحظه صفر» رو می‌خواد. اولین باری که تندی دوباره صفر می‌شه، زمانیه که نوسانگر به انتهای دیگر مسیر، یعنی $x=-A$ می‌رسه. * **محاسبه:** زمان لازم برای رفتن از یک انتهای مسیر به انتهای دیگر، **نصف دوره تناوب** است. $t = \frac{T}{2} = \frac{0.1 \, \text{s}}{2} = 0.05 \, \text{s}$ **پاسخ ب: در زمان ۰.۰۵ ثانیه.** --- **پ) تندی در لحظه برابری انرژی جنبشی و پتانسیل ($K=U$)** * **مفهوم:** از قانون پایستگی انرژی می‌دونیم که انرژی کل $E = K + U$ همیشه ثابته. انرژی کل برابر با انرژی جنبشی بیشینه است: $E = K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$. * **تحلیل:** وقتی $K = U$ باشه، می‌تونیم در معادله انرژی جای‌گذاری کنیم: $E = U + U = 2U \implies E = K + K = 2K$ پس $K = \frac{E}{2}$. * **محاسبه:** $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} K_{max} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}mv_{max}^2)$ $v^2 = \frac{1}{2}v_{max}^2$ $v = \frac{v_{max}}{\sqrt{2}}$ حالا فقط باید $v_{max}$ رو حساب کنیم: $v_{max} = A\omega = (0.050 \, \text{m})(20\pi \, \text{rad/s}) = 1.0\pi \, \text{m/s}$ و در نهایت تندی مورد نظر: $v = \frac{1.0\pi}{\sqrt{2}} \approx \frac{3.14}{1.414} \approx 2.22 \, \text{m/s}$ **پاسخ پ: تندی باید حدود ۲.۲۲ متر بر ثانیه باشد.**