حل مسائل 5و6 فصل سوم فیزیک دوازدهم تجربی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ آخر فصل سوم فیزیک دوازدهم سلام! این سوال از ما می‌خواد که با تحلیل یک نمودار مکان-زمان، پارامترهای حرکت یک نوسانگر رو پیدا کنیم. بیا با هم نمودار رو تفسیر کنیم. **گام اول: استخراج اطلاعات از نمودار** * **دامنه (A):** نمودار بین مقادیر بیشینه و کمینه نوسان می‌کنه. از روی محور عمودی ($x$) می‌بینیم که بیشترین مکان $x_{max}$ (که در نمودار نشان داده نشده) و کمترین مکان $x_{min} = -4.0 \, \text{cm}$ است. برای یک حرکت هماهنگ ساده استاندارد، $x_{max} = -x_{min}$. پس دامنه حرکت $A = 4.0 \, \text{cm} = 0.04 \, \text{m}$ است. * **دوره تناوب (T):** از نمودار می‌بینیم که نوسانگر در $t=0$ از نقطه اوج (قله) شروع به حرکت کرده. در $t = 0.50 \, \text{s}$، نوسانگر در حال عبور از نقطه تعادل ($x=0$) به سمت پایین است. حرکت از قله تا عبور بعدی از نقطه تعادل (به سمت پایین) برابر $1.25$ یا $\frac{5}{4}$ دوره تناوب است. (قله -> تعادل -> دره -> تعادل -> قله). قله در $t=0$. عبور از تعادل به سمت پایین در $t=T/4$. رسیدن به دره در $t=T/2$. عبور از تعادل به سمت بالا در $t=3T/4$. رسیدن دوباره به قله در $t=T$. پس عبور از تعادل به سمت پایین در $t = T/4, 5T/4, ...$ رخ می‌دهد. با توجه به شکل، به نظر می‌رسد که در $t=0.5$ یک دوره و ربع طی شده است. بنابراین: $1.25 T = 0.50 \, \text{s} \implies T = \frac{0.50}{1.25} = 0.4 \, \text{s}$. *تفسیر دیگر*: اگر فرض کنیم نقطه $0.50$ اولین باری است که از $x=0$ می‌گذرد، آنگاه $T/4 = 0.50 \implies T=2.0s$. این تفسیر با شکل نمودار که بیش از یک نوسان را نشان می‌دهد، سازگار نیست. پس $T=0.4s$ صحیح است. * **بسامد زاویه‌ای ($\omega$):** $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi \, \text{rad/s}$. * **شکل حرکت:** چون حرکت در $t=0$ از بیشترین مقدار مثبت ($x=+A$) شروع شده، معادله حرکت از نوع **کسینوسی** است. --- **الف) معادله حرکت** شکل کلی معادله $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ است. چون حرکت از $x=+A$ شروع شده، فاز اولیه $\phi=0$ است. پس: $x(t) = A \cos(\omega t)$ با جای‌گذاری مقادیر در واحدهای SI: $x(t) = 0.04 \cos(5\pi t)$ **پاسخ الف: معادله حرکت $x(t) = 0.04 \cos(5\pi t)$ است (در SI).** --- **ب) مقدار $t_1$** از روی نمودار می‌بینیم که در لحظه $t_1$ مکان نوسانگر $x = +2.0 \, \text{cm} = 0.02 \, \text{m}$ است. این مقادیر رو در معادله حرکت قرار می‌دیم تا $t_1$ رو پیدا کنیم: $0.02 = 0.04 \cos(5\pi t_1)$ $\cos(5\pi t_1) = \frac{0.02}{0.04} = 0.5 = \frac{1}{2}$ اولین زاویه‌ای که کسینوس اون برابر ۰.۵ می‌شه، $\frac{\pi}{3}$ رادیان است. پس: $5\pi t_1 = \frac{\pi}{3}$ $t_1 = \frac{\pi}{3 \times 5\pi} = \frac{1}{15} \, \text{s}$ **پاسخ ب: مقدار $t_1$ برابر با $\frac{1}{15}$ ثانیه (حدود ۰.۰۶۷ ثانیه) است.** --- **پ) اندازه شتاب در لحظه $t_1$** فرمول کلی شتاب در حرکت هماهنگ ساده اینه: $a(t) = -\omega^2 x(t)$ ما شتاب رو در لحظه $t_1$ می‌خوایم. در این لحظه، مکان $x(t_1) = 0.02 \, \text{m}$ و بسامد زاویه‌ای $\omega = 5\pi \, \text{rad/s}$ است. $a(t_1) = -(5\pi)^2 \times (0.02) = -25\pi^2 \times 0.02 = -0.5\pi^2$ مقدار عددی آن تقریباً برابر است با: $a(t_1) \approx -0.5 \times (9.87) \approx -4.93 \, \text{m/s}^2$ سوال **اندازهٔ** شتاب رو خواسته، پس قدر مطلق اون رو در نظر می‌گیریم. **پاسخ پ: اندازه شتاب در لحظه $t_1$ برابر با $0.5\pi^2$ یا حدود $۴.۹۳ \, m/s^2$ است.**

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ آخر فصل سوم فیزیک دوازدهم سلام! این سوال یک کاربرد مستقیم و ساده از **قانون پایستگی انرژی مکانیکی** در حرکت هماهنگ ساده است. بیا با هم حلش کنیم. **مفهوم کلیدی: پایستگی انرژی در نوسانگر** وقتی نیروهای اتلافی (مثل اصطکاک) وجود ندارن، **انرژی مکانیکی کل (E)** یک نوسانگر همیشه **ثابت** باقی می‌مونه. این انرژی کل، مجموع **انرژی جنبشی (K)** و **انرژی پتانسیل (U)** در هر لحظه است. $E_{total} = K + U = \text{ثابت}$ انرژی کل سیستم برابر است با بیشترین مقدار انرژی پتانسیل، که در دو انتهای مسیر (وقتی $x = \pm A$) رخ می‌دهد. در این نقاط، سرعت صفر و انرژی جنبشی صفر است. $E_{total} = U_{max} = \frac{1}{2}kA^2$ **داده‌های مسئله:** * ثابت فنر: $k = 74 \, \text{N/m}$ * دامنه نوسان: $A = 8.0 \, \text{cm} = 0.08 \, \text{m}$ (باید به متر تبدیل بشه) * انرژی پتانسیل در یک نقطه خاص: $U = 8.0 \times 10^{-2} \, \text{J}$ **گام اول: محاسبه انرژی کل مکانیکی (E)** اول از همه، انرژی کل سیستم رو با استفاده از فرمول انرژی پتانسیل بیشینه حساب می‌کنیم: $E_{total} = \frac{1}{2}kA^2$ $E_{total} = \frac{1}{2}(74 \, \text{N/m})(0.08 \, \text{m})^2 = \frac{1}{2}(74)(0.0064)$ $E_{total} = 37 \times 0.0064 = 0.2368 \, \text{J}$ **گام دوم: محاسبه انرژی جنبشی (K)** حالا که انرژی کل رو داریم و انرژی پتانسیل در نقطه مورد نظر هم به ما داده شده، به راحتی می‌تونیم انرژی جنبشی رو از رابطه پایستگی انرژی پیدا کنیم: $E_{total} = K + U$ $K = E_{total} - U$ $K = 0.2368 \, \text{J} - (8.0 \times 10^{-2} \, \text{J}) = 0.2368 - 0.08$ $K = 0.1568 \, \text{J}$ برای اینکه جواب رو کمی ساده‌تر بنویسیم، می‌تونیم اون رو به صورت علمی نمایش بدیم: $K \approx 1.6 \times 10^{-1} \, \text{J}$ **پاسخ نهایی:** انرژی جنبشی وزنه در آن مکان، حدود **$۰.۱۶$ ژول** است.