|
تمرین - ۱ آخر فصل سوم فیزیک دوازدهم -
یک وزنهٔ ۲۰N را از انتهای یک فنر قائم میآویزیم، فنر ۲۰cm کشیده میشود. سپس این فنر را در حالی که به یک وزنهٔ ۵/۰N متصل است روی میز بدون اصطکاکی به نوسان درمیآوریم. دورهٔ تناوب این نوسان چقدر است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ آخر فصل سوم فیزیک دوازدهم
سلام! این سوال دو بخش داره. اول باید از اطلاعات قسمت اول، ویژگی فنر (یعنی ثابت فنر) رو پیدا کنیم و بعد با اون ویژگی، دوره نوسان رو در قسمت دوم حساب کنیم. بیا مرحله به مرحله پیش بریم.
**گام اول: پیدا کردن ثابت فنر (k)**
در قسمت اول، فنر به صورت قائم آویزان شده و یک وزنه به اون متصل میشه. در این حالت، فنر کش میاد تا جایی که **نیروی کشسانی فنر** با **نیروی وزن** برابر بشه و به تعادل برسه. از این تعادل برای پیدا کردن $k$ استفاده میکنیم.
* نیروی وزن وارد شده: $F = 20 \, \text{N}$
* مقدار کشیدگی فنر: $\Delta x = 20 \, \text{cm} = 0.20 \, \text{m}$ (حتماً به متر تبدیل کن!)
بر اساس **قانون هوک** ($F = k \Delta x$):
$k = \frac{F}{\Delta x} = \frac{20 \, \text{N}}{0.20 \, \text{m}} = 100 \, \text{N/m}$
خب، حالا که ثابت فنر رو داریم، میتونیم بریم سراغ بخش دوم.
**گام دوم: پیدا کردن جرم نوسانکننده (m)**
در قسمت دوم، یک وزنهٔ **متفاوت** به همین فنر وصل شده. برای محاسبه دوره تناوب، ما به **جرم** این وزنه نیاز داریم، نه وزنش. (دقت کن که وزن نیرو است و جرم مقدار ماده است).
* وزن نوسانکننده: $W = 5.0 \, \text{N}$
* شتاب گرانش: $g \approx 9.8 \, \text{m/s}^2$ (مقدار استاندارد)
از رابطه $W = mg$، جرم رو به دست میاریم:
$m = \frac{W}{g} = \frac{5.0 \, \text{N}}{9.8 \, \text{m/s}^2} \approx 0.51 \, \text{kg}$
**گام سوم: محاسبه دوره تناوب (T)**
حالا که هم ثابت فنر (k) و هم جرم نوسانکننده (m) رو داریم، میتونیم دوره تناوب نوسان افقی روی میز بدون اصطکاک رو حساب کنیم. فرمول دوره تناوب برای سیستم جرم-فنر اینه:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
مقادیر رو جایگذاری میکنیم:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.51 \, \text{kg}}{100 \, \text{N/m}}} = 2\pi \sqrt{0.0051}$
$T \approx 2\pi (0.0714) \approx 0.448 \, \text{s}$
**پاسخ نهایی:**
دورهٔ تناوب این نوسان تقریباً **۰.۴۵ ثانیه** است.
تمرین - ۲ آخر فصل سوم فیزیک دوازدهم -
هرگاه جسمی به جرم m به فنری متصل شود و به نوسان درآید، با دورهٔ تناوب ۲/۰s نوسان میکند. اگر جرم این جسم ۲/۰kg افزایش یابد، دورهٔ تناوب ۳/۰s میشود. مقدار m چقدر است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ آخر فصل سوم فیزیک دوازدهم
سلام! این سوال یک روش هوشمندانه برای پیدا کردن جرم اولیه یک نوسانگر، بدون نیاز به دانستن ثابت فنر، به ما نشون میده. ما با تشکیل یک دستگاه معادله، مجهول رو پیدا میکنیم.
**مفهوم کلیدی: فرمول دوره تناوب سیستم جرم-فنر**
دوره تناوب (T) یک سیستم جرم-فنر از این رابطه به دست میاد:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
که در اون $m$ جرم و $k$ ثابت فنر است.
**گام اول: نوشتن معادلات برای دو حالت**
ما دو حالت در مسئله داریم:
* **حالت ۱:** جرم اولیه $m$ است و دوره تناوب $T_1 = 2.0 \, \text{s}$ است.
$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies 2.0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ (معادله ۱)
* **حالت ۲:** جرم به اندازه $2.0 \, \text{kg}$ افزایش پیدا میکنه، یعنی جرم جدید $m + 2.0$ است و دوره تناوب $T_2 = 3.0 \, \text{s}$ میشود.
$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m+2.0}{k}} \implies 3.0 = 2\pi \sqrt{\frac{m+2.0}{k}}$ (معادله ۲)
**گام دوم: حل دستگاه معادلات**
یک راه حل عالی برای حذف کردن پارامترهای ثابت ($2\pi$ و $k$)، **تقسیم کردن دو معادله بر هم** است. بیایم معادله ۲ رو بر معادله ۱ تقسیم کنیم:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{m+2.0}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}$
$\frac{3.0}{2.0} = \sqrt{\frac{\frac{m+2.0}{k}}{\frac{m}{k}}} = \sqrt{\frac{m+2.0}{m}}$
حالا یک معادله ساده داریم که فقط یک مجهول ($m$) داره. برای حلش، دو طرف معادله رو به **توان ۲** میرسونیم تا از شر رادیکال خلاص بشیم:
$(\frac{3}{2})^2 = \frac{m+2.0}{m}$
$\frac{9}{4} = \frac{m+2.0}{m}$
$2.25 = \frac{m+2.0}{m}$
حالا طرفین وسطین میکنیم (یا $m$ را در دو طرف ضرب میکنیم):
$2.25m = m + 2.0$
$m$ ها رو یک طرف میاریم:
$2.25m - m = 2.0$
$1.25m = 2.0$
و در نهایت $m$ رو پیدا میکنیم:
$m = \frac{2.0}{1.25} = 1.6 \, \text{kg}$
**پاسخ نهایی:**
مقدار جرم اولیه، $m$، برابر با **۱.۶ کیلوگرم** است.
تمرین - ۳ آخر فصل سوم فیزیک دوازدهم -
جرم خودرویی همراه با سرنشینان آن ۱۶۰۰kg است. این خودرو روى چهار فنر با ثابت فنر $۲/۰۰ \times ۱۰^{۴}N/m$ سوار شده است. دورهٔ تناوب، بسامد، و بسامد زاویهای ارتعاش خودرو وقتی از چالهای میگذرد چقدر است؟ فرض کنید وزن خودرو به طور یکنواخت روی فنرهای چهارچرخ توزیع شده است.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ آخر فصل سوم فیزیک دوازدهم
سلام! این سوال، سیستم تعلیق یک خودرو رو به عنوان یک سیستم نوسانگر جرم و فنر مدلسازی میکنه. بیا پارامترهای اصلی این نوسان رو با هم پیدا کنیم.
**تحلیل مسئله:**
* **جرم (m):** جرم کل سیستم که در حال نوسان است، جرم خودرو و سرنشینان است. $m = 1600 \, \text{kg}$.
* **ثابت فنر (k):** خودرو روی چهار فنر قرار داره. وقتی خودرو بالا و پایین میره، هر چهار فنر با هم کار میکنن. ثابت فنری که در مسئله داده شده ($k = 2.00 \times 10^4 \, \text{N/m}$) **ثابت فنر معادل** یا **ثابت کل** هر چهار فنر با هم است. پس ما از همین عدد در محاسبات استفاده میکنیم.
**گام اول: محاسبه بسامد زاویهای ($\omega$)**
بسامد زاویهای (که به آن سرعت زاویهای هم گفته میشه) اولین و پایهایترین کمیتی است که باید محاسبه کنیم. فرمول اون برای سیستم جرم-فنر اینه:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
مقادیر رو جایگذاری میکنیم:
$\omega = \sqrt{\frac{2.00 \times 10^4 \, \text{N/m}}{1600 \, \text{kg}}} = \sqrt{\frac{20000}{1600}} = \sqrt{12.5}$
$\omega \approx 3.54 \, \text{rad/s}$
**پاسخ: بسامد زاویهای حدود ۳.۵۴ رادیان بر ثانیه است.**
---
**گام دوم: محاسبه بسامد (f)**
بسامد (f) تعداد نوسانات کامل در هر ثانیه رو نشون میده و واحدش هرتز (Hz) است. رابطه اون با بسامد زاویهای اینه:
$f = \frac{\omega}{2\pi}$
$f = \frac{3.54}{2\pi} \approx \frac{3.54}{6.28} \approx 0.564 \, \text{Hz}$
**پاسخ: بسامد حدود ۰.۵۶ هرتز است.**
---
**گام سوم: محاسبه دورهٔ تناوب (T)**
دوره تناوب (T) مدت زمان یک نوسان کامل است و رابطه معکوس با بسامد داره:
$T = \frac{1}{f}$
$T = \frac{1}{0.564} \approx 1.77 \, \text{s}$
روش دیگر، محاسبه مستقیم از $\omega$ است:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3.54} \approx 1.77 \, \text{s}$
**پاسخ: دورهٔ تناوب حدود ۱.۷۷ ثانیه است.**
