جواب کاردرکلاس صفحه 113 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 1 صفحه 113 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین بر روی یافتن **اکسترمم‌های مطلق (Absolute Extrema)** متمرکز است. اکسترمم مطلق، بالاترین (ماکزیمم مطلق) و پایین‌ترین (مینیمم مطلق) نقاط یک تابع در کل دامنه آن هستند. ⛰️ --- ## الف) نمودار $y=f(x)$ (نقاط گسسته) | پارامتر | مقدار ($y$) | طول ($x$) | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | بالاترین مقدار $y$ است: $\mathbf{4}$ | در $\mathbf{x=b}$ و $\mathbf{x=d}$ | | **مینیمم مطلق** | پایین‌ترین مقدار $y$ است: $\mathbf{1}$ | در $\mathbf{x=c}$ | --- ## ب) نمودار $y=g(x)$ (منحنی پیوسته) * **توجه:** نمودار در $x=0$ و $x=d$ تعریف شده و پیوسته است. | پارامتر | مقدار ($y$) | طول ($x$) | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | بالاترین نقطه روی نمودار: $\mathbf{4}$ | در $\mathbf{x=c}$ | | **مینیمم مطلق** | پایین‌ترین نقطه روی نمودار: $\mathbf{1}$ | در $\mathbf{x=a}$ (نقطه ابتدایی) | --- ## پ) نمودار $y=h(x)$ (منحنی چندقطعه‌ای) * **توجه:** نمودار در $x=a$ و $x=k$ تعریف شده است. | پارامتر | مقدار ($y$) | طول ($x$) | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | بالاترین نقطه روی نمودار: $\mathbf{3}$ | در $\mathbf{x=a}$ و $\mathbf{x=e}$ | | **مینیمم مطلق** | پایین‌ترین نقطه روی نمودار: $\mathbf{1}$ | در $\mathbf{x=d}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 2 صفحه 113 حسابان دوازدهم این تمرین تفاوت‌های کلیدی بین **اکسترمم‌های نسبی (Relative Extrema)** و **اکسترمم‌های مطلق (Absolute Extrema)** را برجسته می‌کند. * **نسبی:** یک قله یا دره **محلی** است (تابع باید در همسایگی آن تعریف شده باشد). * **مطلق:** بالاترین یا پایین‌ترین نقطه در **کل دامنه** است. (می‌تواند نقطه انتهایی باشد). --- ## الف) نمودار سمت راست (منحنی پیوسته) | نوع اکسترمم | طول ($x$) | مقدار ($y$) | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | $\mathbf{x=c}$ | $\mathbf{4}$ | | **مینیمم مطلق** | $\mathbf{x=b}$ | $\mathbf{1}$ | | **ماکزیمم نسبی** | $\mathbf{x=c}$ (قله) | $\mathbf{4}$ | | **مینیمم نسبی** | $\mathbf{x=e}$ (دره) | $\mathbf{2}$ | --- ## ب) نمودار وسط (ناپیوسته) | نوع اکسترمم | طول ($x$) | مقدار ($y$) | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | $\mathbf{x=b}$ (نقطه ابتدایی) | $\mathbf{3}$ | | **مینیمم مطلق** | **وجود ندارد** | حد پایین ($y=0$) شامل نمی‌شود و مقدار تابع در $x=g$ بالاتر است. | | **ماکزیمم نسبی** | $\mathbf{x=d}$ (قله) | $\mathbf{1}$ | | **مینیمم نسبی** | **وجود ندارد** | نقطه $x=c$ (حفره) یا $x=g$ (نقطه انتهایی) شرط نسبی را نقض می‌کنند. | --- ## پ) نمودار سمت چپ (شامل بخش ثابت) | نوع اکسترمم | طول ($x$) | مقدار ($y$) | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | $\mathbf{x=b}$ (قله) | $\mathbf{3}$ | | **مینیمم مطلق** | در تمام بازه $\mathbf{[c, g]}$ | $\mathbf{0}$ | | **ماکزیمم نسبی** | $\mathbf{x=b}$ (قله) | $\mathbf{3}$ | | **مینیمم نسبی** | در تمام بازه **$athbf{[c, g)}$** | $\mathbf{0}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 3 صفحه 113 حسابان دوازدهم برای توابع با ضابطه مشخص، از مشتق برای یافتن اکسترمم‌های نسبی استفاده می‌کنیم. برای توابع نموداری، نقاط بحرانی (راس، گوشه، نقطه انتهایی) را بررسی می‌کنیم. ⛰️ --- ## الف) نمودار $y = x^2$ * **دامنه:** $(-\infty, +\infty)$ * **نقطه بحرانی:** $f'(x) = 2x = 0 \implies x=0$ | نوع اکسترمم | مقدار ($y$) | طول ($x$) | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | **وجود ندارد** | تابع تا $+\infty$ می‌رود | | **مینیمم مطلق** | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{x=0}$ (راس) | | **ماکزیمم نسبی** | **وجود ندارد** | | | **مینیمم نسبی** | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{x=0}$ | --- ## ب) نمودار $y = |x^2 - 4|$ * **دامنه:** $(-\infty, +\infty)$ * **نقاط گوشه:** $x^2 - 4 = 0 \implies x = 2, x = -2$ * **نقطه بحرانی:** $x=0$ (مینیمم نسبی در سهمی اصلی) | نوع اکسترمم | مقدار ($y$) | طول ($x$) | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | **وجود ندارد** | تابع تا $+\infty$ می‌رود | | **مینیمم مطلق** | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{x=2}$ و $\mathbf{x=-2}$ (نقاط گوشه) | | **ماکزیمم نسبی** | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{x=0}$ (قله) | | **مینیمم نسبی** | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{x=2}$ و $\mathbf{x=-2}$ | --- ## پ) نمودار چندضابطه‌ای (پیوسته) * **دامنه:** $[a, d]$ | نوع اکسترمم | مقدار ($y$) | طول ($x$) | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | $\mathbf{11}$ | $\mathbf{x=c}$ | | **مینیمم مطلق** | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{x=d}$ (نقطه انتهایی) | | **ماکزیمم نسبی** | $\mathbf{11}$ | $\mathbf{x=c}$ | | **مینیمم نسبی** | $\mathbf{5}$ | $\mathbf{x=b}$ (دره) | --- ## ت) نمودار چندضابطه‌ای (ناپیوسته) * **دامنه:** $(-2, 2]$ | نوع اکسترمم | مقدار ($y$) | طول ($x$) | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | **وجود ندارد** | حد بالا در $x=2$ (مقدار $2.5$) شامل نمی‌شود (حفره) | | **مینیمم مطلق** | $\mathbf{-1}$ | $\mathbf{x=1}$ (نقطه انتهایی) | | **ماکزیمم نسبی** | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{x=1.5}$ (قله) | | **مینیمم نسبی** | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{x=0}$ (دره) | --- ## ث) نمودار چندضابطه‌ای (پیوسته) * **دامنه:** $[-1, 3]$ | نوع اکسترمم | مقدار ($y$) | طول ($x$) | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | $\mathbf{2.5}$ | **وجود ندارد** (حفره در $x=3$) | | **مینیمم مطلق** | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{x=1.5}$ (دره) | | **ماکزیمم نسبی** | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{x=-1}$ (نقطه انتهایی) | | **مینیمم نسبی** | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{x=1.5}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 4 صفحه 113 حسابان دوازدهم این سوال نیازمند ترسیم تابعی است که در **$x=2$ قله (ماکزیمم نسبی)** و در **$x=1$ دره (مینیمم نسبی)** داشته باشد. این یک **تناقض** است و **امکان‌پذیر نیست** که یک تابع مشتق‌پذیر چنین شرایطی داشته باشد. ❌ --- ### تحلیل تناقض 1. **ماکزیمم نسبی در $(2, 4)$:** یعنی تابع در $x=2$ باید از صعودی به نزولی تغییر کند. 2. **مینیمم نسبی در $(1, 5)$:** یعنی تابع در $x=1$ باید از نزولی به صعودی تغییر کند. **بررسی:** * برای رفتن از $x=1$ به $x=2$، تابع باید از $(1, 5)$ شروع کرده و به $(2, 4)$ برسد. * در $x=1$ (مینیمم نسبی) باید شیب صفر باشد، اما تابع از $y=5$ به $y=4$ **نزول** کرده است (به ازای $x$ بزرگتر، $y$ کوچکتر شده است). * **در یک بازه پیوسته، مینیمم باید از ماکزیمم کوچکتر باشد.** در اینجا $y_{\min} = 5$ و $y_{\max} = 4$. $5$ بزرگتر از $4$ است. **نتیجه:** یک تابع پیوسته یا مشتق‌پذیر نمی‌تواند در نقطه‌ای با $y$ بزرگتر، مینیمم نسبی و در نقطه‌ای با $y$ کوچکتر، ماکزیمم نسبی داشته باشد. ### حل مسئله (رسم تابع ناپیوسته) تنها راه حل، رسم یک **تابع ناپیوسته** است. 1. یک **قله (ماکزیمم نسبی)** در **$(2, 4)$** رسم می‌کنیم. 2. یک **دره (مینیمم نسبی)** در **$(1, 5)$** رسم می‌کنیم. این دو نقطه باید در دو قطعه جداگانه و ناپیوسته از تابع باشند. $$f(x) = \begin{cases} - (x-1)^2 + 5 & 0 \leq x \leq 1.5 \\ - (x-2)^2 + 4 & 1.5 < x \leq 3 \end{cases}$$ **توضیح رسم:** نمودار اول تا نزدیکی $x=1.5$ یک سهمی رو به پایین است که در $(1, 5)$ دره دارد. نمودار دوم یک سهمی رو به پایین است که در $(2, 4)$ قله دارد. این دو قطعه در $x=1.5$ ناپیوسته هستند و شرط را برقرار می‌کنند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 5 صفحه 113 حسابان دوازدهم این تمرین اهمیت **نوع بازه (بسته یا باز)** در تضمین وجود اکسترمم‌های مطلق (قضیه ماکزیمم-مینیمم) را نشان می‌دهد. 💡 **تابع:** $$f(x) = x^2$$ --- ## الف) بررسی اکسترمم‌های مطلق در بازه‌های مختلف ### 1. بازه بسته $[0, 1]$ (شامل نقاط انتهایی) * **قضیه:** تابع $f(x) = x^2$ در $[0, 1]$ پیوسته است. طبق قضیه ماکزیمم-مینیمم، اکسترمم‌های مطلق **وجود دارند**. * **مقادیر:** $f(0) = 0$ (مینیمم)، $f(1) = 1$ (ماکزیمم). | پارامتر | وجود | مقدار ($y$) | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | **دارد** | $\mathbf{1}$ | | **مینیمم مطلق** | **دارد** | $\mathbf{0}$ | ### 2. بازه باز $(0, 1)$ (بدون نقاط انتهایی) * **تحلیل:** اگرچه $0 < x^2 < 1$ است، اما نقاط انتهایی $y=0$ و $y=1$ در دامنه نیستند. تابع به این مقادیر **نزدیک** می‌شود اما هرگز به آن‌ها نمی‌رسد. | پارامتر | وجود | دلیل | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | **ندارد** | حد بالای $y=1$ در بازه نیست (حفره در انتها) | | **مینیمم مطلق** | **ندارد** | حد پایین $y=0$ در بازه نیست (حفره در انتها) | ### 3. بازه نیمه‌باز $[0, 1)$ (شامل مینیمم) * **تحلیل:** مینیمم در $x=0$ شامل بازه است، اما ماکزیمم در $x=1$ نیست. | پارامتر | وجود | مقدار ($y$) | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | **ندارد** | حد بالا در $y=1$ در بازه نیست | | **مینیمم مطلق** | **دارد** | $\mathbf{0}$ (در $x=0$) | --- ## ب) وجود اکسترمم‌های مطلق تابع $f$ بر روی $\mathbb{R}$ * **دامنه:** $(-\infty, +\infty)$ * **تحلیل:** * تابع در سمت راست و چپ به $+\infty$ میل می‌کند ($\lim_{x \to \pm \infty} x^2 = +\infty$). پس **ماکزیمم مطلق وجود ندارد.** * تابع دارای یک مینیمم مطلق در راس سهمی است. | پارامتر | وجود | مقدار ($y$) | |:---:|:---:|:---:| | **ماکزیمم مطلق** | **ندارد** | حد تابع در بی‌نهایت، $+\infty$ است | | **مینیمم مطلق** | **دارد** | $\mathbf{0}$ (در $x=0$) |