جواب کاردرکلاس صفحه 66 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 1 و 2 صفحه 66 حسابان دوازدهم سلام! این بخش به قضیه اصلی در محاسبه **حد توابع گویا در بی‌نهایت** می‌پردازد. این قضیه می‌گوید که در بی‌نهایت، رفتار یک تابع گویا فقط توسط **بزرگترین توان‌های صورت و مخرج** کنترل می‌شود. 👑 --- ### 1. اثبات قضیه حد تابع گویا در بی‌نهایت برای اثبات، صورت و مخرج کسر را بر بزرگترین توان مخرج یعنی $x^m$ تقسیم می‌کنیم: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_0}$$ $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{a_n x^n}{x^m} + \frac{a_{n-1} x^{n-1}}{x^m} + \dots + \frac{a_0}{x^m}}{\frac{b_m x^m}{x^m} + \frac{b_{m-1} x^{m-1}}{x^m} + \dots + \frac{b_0}{x^m}}$$ **نکته کلیدی:** به یاد داریم که برای هر $k > 0$، $$athbf{\lim_{x \to \pm \infty} \frac{c}{x^k} = 0}$$ بنابراین، تمام جملات به جز جملات با بزرگترین توان (که توان آن‌ها صفر یا مثبت است) حذف شده و حد آن‌ها صفر می‌شود: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{a_n x^{n-m} + 0 + \dots + 0}{b_m + 0 + \dots + 0}$$ $$\mathbf{\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{a_n}{b_m} x^{n-m}}$$ **(اثبات شد.)** --- ### 2. بررسی حالت‌های مختلف درجه #### الف) حالت $n < m$ (درجه صورت < درجه مخرج) * **نتیجه حد:** $n - m$ یک عدد **منفی** است. $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{a_n}{b_m} x^{n-m} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{a_n}{b_m x^{m-n}}$$ * **قاعده:** چون $m-n > 0$ است، مخرج به بی‌نهایت میل می‌کند، پس کل کسر به **صفر** میل می‌کند. * **جواب:** $$\mathbf{0}$$ #### ب) حالت $n = m$ (درجه صورت = درجه مخرج) * **نتیجه حد:** $n - m = 0$. $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{a_n}{b_m} x^0 = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{a_n}{b_m} \cdot 1$$ * **قاعده:** حد برابر است با نسبت ضرایب جملات با بزرگترین توان. * **جواب:** $$\mathbf{\frac{a_n}{b_m}}$$ #### پ) حالت $n > m$ (درجه صورت > درجه مخرج) * **نتیجه حد:** $n - m$ یک عدد **مثبت** است. $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{a_n}{b_m} x^{n-m}$$ * **قاعده:** حد برابر با **$\pm \infty$** است. علامت آن به ضریب $\frac{a_n}{b_m}$ و جهت حد ($\pm \infty$) و همچنین زوج یا فرد بودن توان ($n-m$) بستگی دارد. * **جواب:** $$\mathbf{\pm \infty}$$ --- ### 3. تمرین 2: محاسبه حدها به کمک نتیجه بالا، حدهای زیر را محاسبه کنید. #### الف) $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^3 - \sqrt{3}x + 1}{2x^3 - x + 3}$ * **مقایسه درجه:** درجه صورت ($n=3$) = درجه مخرج ($m=3$). (حالت $n=m$) * **ضرایب بزرگترین توان:** $a_n = 2$ و $b_m = 2$ * **حد:** $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^3}{2x^3} = \frac{2}{2} = 1$$ #### ب) $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{-3x + x - 1}{6x^3 - 2x + 1}$ (احتمالاً اشتباه چاپی در صورت و منظور $-3x^1$ است) * **مقایسه درجه:** درجه صورت ($n=1$) < درجه مخرج ($m=3$). (حالت $n < m$) * **حد:** $$\mathbf{\lim_{x \to \pm \infty} \frac{-3x}{6x^3} = 0}$$ #### پ) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{4x^2 + 2x - 1}$ * **مقایسه درجه:** درجه صورت ($n=3$) > درجه مخرج ($m=2$). (حالت $n > m$) * **حد:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3}{4x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{4} x = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2} x$$ * **محاسبه نهایی:** وقتی $x \to +\infty$، $\frac{1}{2}x$ نیز به **$+\infty$** میل می‌کند. * **جواب:** $$\mathbf{+\infty}$$