کار در کلاس صفحه 60 حسابان دوازدهم
نمودار تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ را در بازه $(-\infty, 0)$ در نظر بگیرید.
1. جدول زیر را کامل کنید.
| $x$ | $-1$ | $-2$ | $-5$ | $-10$ | $-100$ | $-10^3$ | $-10^4$ | $\dots$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $f(x)$ | | | | | | | | $\dots$ |
2. اگر بخواهیم فاصله $f(x)$ از محور $x$ها کمتر از $\frac{1}{3}$ شود، $x$ را باید از چه عددی کوچک‌تر در نظر بگیریم؟
3. اگر بخواهیم فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها از $\frac{1}{10}$ کمتر شود، $x$ را باید از چه عددی کوچک‌تر در نظر بگیریم؟
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 60 حسابان دوازدهم
سلام! این تمرین بر روی مفهوم **حد در بی‌نهایت (Limit at Infinity)** برای تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ است، اما این بار وقتی که $x$ به سمت **منفی بی‌نهایت ($-\infty$)** می‌رود. 📉
**فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها** برابر است با **$|f(x)|$**.
---
### 1. تکمیل جدول
وقتی $x$ در حال کوچک و کوچک‌تر شدن است (منفی می‌شود)، $f(x) = \frac{1}{x}$ به صفر نزدیک می‌شود (از سمت منفی).
| $x$ | $-1$ | $-2$ | $-5$ | $-10$ | $-100$ | $-10^3$ | $-10^4$ | $\dots \to -\infty$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $f(x)$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{5}$ | $-\frac{1}{10}$ | $-\frac{1}{100}$ | $\mathbf{-10^{-3}}$ | $\mathbf{-10^{-4}}$ | $\mathbf{\dots \to 0}$ |
---
### 2. فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها کمتر از $\frac{1}{3}$
ما می‌خواهیم $|f(x)| < \frac{1}{3}$ باشد. چون $x$ منفی است، $f(x) = \frac{1}{x}$ نیز منفی است. پس $|f(x)| = |\frac{1}{x}| = -\frac{1}{x}$.
**نامساوی مورد نظر:**
$$|f(x)| < \frac{1}{3} \implies \left|\frac{1}{x}\right| < \frac{1}{3}$$
از آنجایی که $\frac{1}{x}$ منفی است:
$$-\frac{1}{x} < \frac{1}{3}$$
برای حل این نامساوی، طرفین را در $-1$ ضرب می‌کنیم (جهت نامساوی برمی‌گردد):
$$\frac{1}{x} > -\frac{1}{3}$$
**روش ساده‌تر (با قدر مطلق):**
$$\left|\frac{1}{x}\right| < \frac{1}{3} \implies -\frac{1}{3} < \frac{1}{x} < \frac{1}{3}$$
چون ما فقط $x < 0$ را در نظر می‌گیریم، بخش مثبت نامساوی را نادیده می‌گیریم:
$$-\frac{1}{3} < \frac{1}{x}$$
با معکوس کردن طرفین نامساوی (و توجه به اینکه $x$ منفی و $-1/3$ منفی است)، جهت نامساوی برمی‌گردد:
$$x < -3$$
**پاسخ:** $x$ را باید از **$-3$** کوچک‌تر در نظر بگیریم. (یعنی $x \leq -3$)
---
### 3. فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها کمتر از $\frac{1}{10}$
ما می‌خواهیم $|f(x)| < \frac{1}{10}$ باشد.
$$\left|\frac{1}{x}\right| < \frac{1}{10}$$
$$-\frac{1}{10} < \frac{1}{x} < \frac{1}{10}$$
با توجه به اینکه $x < 0$ است، فقط قسمت $-1/10 < 1/x$ را حل می‌کنیم.
با معکوس کردن (و برگرداندن جهت نامساوی به دلیل منفی بودن $x$ و $-1/10$):
$$x < -10$$
**پاسخ:** $x$ را باید از **$-10$** کوچک‌تر در نظر بگیریم. (یعنی $x \leq -10$)
---
**نتیجه‌گیری کلی:** این تمرین تأیید می‌کند که با حرکت $x$ به سمت **$-\infty$**، تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ به طور نامحدود به محور $x$ها نزدیک می‌شود. یعنی: $$athbf{\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0}$$
