حل تمرین صفحه 58 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 1 صفحه 58 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین بر روی اثبات حدهای نامتناهی با استفاده از **قوانین عمل روی حدها (قضیه 5)** تمرکز دارد. هدف این است که کسر را به صورت $\frac{L}{0}$ درآوریم و علامت آن را تعیین کنیم. ➕ --- ### الف) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{3+x^2}}{x^2} = +\infty$ این حد در $x=0$ به صورت $\frac{\sqrt{3}}{0}$ است. 1. **بررسی صورت (L):** $$\lim_{x \to 0} \sqrt{3+x^2} = \sqrt{3+0} = \sqrt{3}$$ $$\text{چون } L = \sqrt{3} > 0 \text{ است.}$$ (قضیه حد ریشه) 2. **بررسی مخرج (0):** $$\lim_{x \to 0} x^2 = 0$$ $$\text{همچنین، چون } x^2 \geq 0 \text{ است، هنگام نزدیک شدن به صفر، } x^2 \text{ همیشه مثبت است (}\mathbf{0^+}\text{)}$$ (قضیه حد چندجمله‌ای) 3. **نتیجه‌گیری نهایی:** $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{3+x^2}}{x^2} = \frac{\sqrt{3}}{0^+} = +\infty$$ $$\text{پس درستی حد نشان داده شد.}$$ (قضیه حد خارج قسمت، حالت $\frac{L}{0^+}$) --- ### ب) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^4} = +\infty$ این حد در $x=2$ به صورت $\frac{1}{0}$ است. باید حد چپ و راست یکسان باشند. 1. **بررسی صورت (L):** $$\lim_{x \to 2} 1 = 1 \quad (L=1 > 0)$$ (قضیه حد ثابت) 2. **بررسی مخرج (0):** $$\lim_{x \to 2} (x-2)^4 = 0$$ $$\text{چون توان 4 زوج است، } (x-2)^4 \geq 0 \text{ است. بنابراین، چه از چپ و چه از راست به 2 نزدیک شویم، مخرج همواره } \mathbf{0^+} \text{ خواهد بود.}$$ (قضیه حد چندجمله‌ای) 3. **نتیجه‌گیری نهایی:** $$\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^4} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ $$\text{پس درستی حد نشان داده شد.}$$ (قضیه حد خارج قسمت، حالت $\frac{L}{0^+}$) --- ### پ) $\lim_{x \to -2} \frac{|5 - x|}{|2 + x|} = +\infty$ این حد در $x=-2$ به صورت $\frac{|7|}{0}$ است. 1. **بررسی صورت (L):** $$\lim_{x \to -2} |5 - x| = |5 - (-2)| = |7| = 7 \quad (L=7 > 0)$$ (قضیه حد مطلق) 2. **بررسی مخرج (0):** $$\lim_{x \to -2} |2 + x| = |2 + (-2)| = 0$$ $$\text{چون قدر مطلق همیشه نامنفی است، مخرج در نزدیکی } -2 \text{ همواره } \mathbf{0^+} \text{ خواهد بود.}$$ (قضیه حد مطلق) 3. **نتیجه‌گیری نهایی:** $$\lim_{x \to -2} \frac{|5 - x|}{|2 + x|} = \frac{7}{0^+} = +\infty$$ $$\text{پس درستی حد نشان داده شد.}$$ (قضیه حد خارج قسمت، حالت $\frac{L}{0^+}$)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 2 صفحه 58 حسابان دوازدهم برای محاسبه این حدود، ابتدا باید با جایگذاری مستقیم نوع ابهام را تعیین کنیم. اگر به فرم $\frac{L}{0}$ برسیم، باید علامت مخرج را با استفاده از جهت حد (چپ یا راست) و جدول تعیین علامت یا جایگذاری عددی، مشخص کنیم. 💡 --- ### الف) $\lim_{x \to 2^-} \frac{2x}{x^2 - 4}$ #### 1. بررسی صورت و مخرج (جایگذاری $x=2$) * **صورت:** $\lim_{x \to 2^-} 2x = 2(2) = 4 \quad (L=4)$ * **مخرج:** $\lim_{x \to 2^-} (x^2 - 4) = 4 - 4 = 0$. (حالت $\frac{4}{0}$) #### 2. تعیین علامت مخرج (از چپ) مخرج را تجزیه می‌کنیم: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. ما به 2 از سمت چپ نزدیک می‌شویم ($x \to 2^-$): * $\mathbf{(x - 2)}:$ چون $x < 2$ است، پس $x - 2 < 0$. (منفی) * $\mathbf{(x + 2)}:$ چون $x$ نزدیک 2 است، $x + 2$ مثبت است (حدود 4). * $\text{علامت مخرج:} (\text{منفی}) \times (\text{مثبت}) = \text{منفی} \implies 0^-$ #### 3. محاسبه نهایی $$\lim_{x \to 2^-} \frac{2x}{x^2 - 4} = \frac{4}{0^-} = -\infty$$ **جواب نهایی (الف):** $\mathbf{-\infty}$ --- ### ب) $\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 + 2x - 1}{x^2 + x - 12}$ #### 1. بررسی صورت و مخرج (جایگذاری $x=3$) * **صورت:** $\lim_{x \to 3^-} (x^2 + 2x - 1) = 3^2 + 2(3) - 1 = 9 + 6 - 1 = 14 \quad (L=14)$ * **مخرج:** $\lim_{x \to 3^-} (x^2 + x - 12) = 9 + 3 - 12 = 0$. (حالت $\frac{14}{0}$) #### 2. تعیین علامت مخرج (از چپ) مخرج را تجزیه می‌کنیم: $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$. ما به 3 از سمت چپ نزدیک می‌شویم ($x \to 3^-$): * $\mathbf{(x - 3)}:$ چون $x < 3$ است، پس $x - 3 < 0$. (منفی) * $\mathbf{(x + 4)}:$ چون $x$ نزدیک 3 است، $x + 4$ مثبت است (حدود 7). * $\text{علامت مخرج:} (\text{منفی}) \times (\text{مثبت}) = \text{منفی} \implies 0^-$ #### 3. محاسبه نهایی $$\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 + 2x - 1}{x^2 + x - 12} = \frac{14}{0^-} = -\infty$$ **جواب نهایی (ب):** $\mathbf{-\infty}$ --- ### پ) $\lim_{x \to 3^+} \frac{x + 1}{9 - x^2}$ #### 1. بررسی صورت و مخرج (جایگذاری $x=3$) * **صورت:** $\lim_{x \to 3^+} (x + 1) = 3 + 1 = 4 \quad (L=4)$ * **مخرج:** $\lim_{x \to 3^+} (9 - x^2) = 9 - 9 = 0$. (حالت $\frac{4}{0}$) #### 2. تعیین علامت مخرج (از راست) مخرج را تجزیه می‌کنیم: $9 - x^2 = (3 - x)(3 + x)$. ما به 3 از سمت راست نزدیک می‌شویم ($x \to 3^+$): * $\mathbf{(3 - x)}:$ چون $x > 3$ است، پس $3 - x < 0$. (منفی) * $\mathbf{(3 + x)}:$ چون $x$ نزدیک 3 است، $3 + x$ مثبت است (حدود 6). * $\text{علامت مخرج:} (\text{منفی}) \times (\text{مثبت}) = \text{منفی} \implies 0^-$ #### 3. محاسبه نهایی $$\lim_{x \to 3^+} \frac{x + 1}{9 - x^2} = \frac{4}{0^-} = -\infty$$ **جواب نهایی (پ):** $\mathbf{-\infty}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 5 صفحه 58 حسابان دوازدهم برای یافتن **مجانب‌های قائم**، باید ریشه‌های **مخرج** را پیدا کنیم و مطمئن شویم که صورت را صفر نمی‌کنند (یا بعد از رفع ابهام، حد نامتناهی می‌شود). 📏 --- ### الف) $f(x) = \frac{2x - 1}{3 - x}$ 1. **یافتن ریشه مخرج:** $$3 - x = 0 \implies x = 3$$ 2. **بررسی صورت در $x = 3$:** $$N(3) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$$ 3. **نتیجه‌گیری:** چون ریشه مخرج ($x=3$) صورت را صفر نمی‌کند ($N(3)=5 \neq 0$)، پس در این نقطه حد به صورت $\frac{5}{0}$ است که منجر به حد نامتناهی می‌شود. $$\text{مجانب قائم:} \mathbf{x = 3}$$ --- ### ب) $g(x) = \frac{x^2 + x}{x^2 - x}$ 1. **یافتن ریشه‌های مخرج:** $$x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$$ * ریشه اول: $x = 0$ * ریشه دوم: $x = 1$ 2. **بررسی ریشه‌های مشترک (رفع ابهام):** * **صورت را تجزیه می‌کنیم:** $N(x) = x^2 + x = x(x + 1)$ * **بررسی $x = 0$:** ریشه مشترک است ($N(0)=0$ و $D(0)=0$). باید حد را محاسبه کنیم: $$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x(x + 1)}{x(x - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{0 + 1}{0 - 1} = -1$$ چون حد متناهی است (برابر $-1$)، **$x = 0$ مجانب قائم نیست** (بلکه یک حفره در نمودار است). * **بررسی $x = 1$:** ریشه مشترک نیست. $$N(1) = 1(1 + 1) = 2$$ چون $N(1) = 2 \neq 0$ است، در این نقطه حالت $\frac{2}{0}$ خواهیم داشت. $$\text{مجانب قائم:} \mathbf{x = 1}$$ --- | تابع | مجانب قائم | |:---:|:---:| | الف) $f(x) = \frac{2x - 1}{3 - x}$ | $x = 3$ | | ب) $g(x) = \frac{x^2 + x}{x^2 - x}$ | $x = 1$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 6 صفحه 58 حسابان دوازدهم برای تحلیل رفتار نمودار این تابع گویای شامل قدر مطلق، ابتدا باید ضابطه تابع را بر اساس تعریف قدر مطلق بازنویسی کنیم تا مجانب‌های قائم آن مشخص شوند. 📐 --- ### 1. بازنویسی ضابطه تابع $f(x) = \frac{1}{x - |x|}$ #### الف) حالت $x \geq 0$ اگر $x \geq 0$ باشد، $|x| = x$. $$f(x) = \frac{1}{x - x} = \frac{1}{0}$$ **نتیجه:** تابع برای تمام $x \geq 0$ **تعریف نشده** است. بنابراین، مجانب قائمی در سمت راست $x=0$ وجود ندارد و دامنه تابع فقط $x < 0$ است. #### ب) حالت $x < 0$ اگر $x < 0$ باشد، $|x| = -x$. $$f(x) = \frac{1}{x - (-x)} = \frac{1}{x + x} = \frac{1}{2x}$$ **نتیجه:** ضابطه تابع در دامنه $(-\infty, 0)$ به صورت $f(x) = \frac{1}{2x}$ است. ### 2. بررسی مجانب قائم تنها نقطه مشکوک به مجانب قائم، $x=0$ است (ریشه مخرج $2x$). اما چون تابع فقط در $(-\infty, 0)$ تعریف شده است، باید حد چپ در $x=0$ را بررسی کنیم (حد راست وجود ندارد). $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{2x}$$ * **صورت:** $\lim_{x \to 0^-} 1 = 1$ * **مخرج:** وقتی $x \to 0^-$, $2x \to 0^-$. (یک عدد بسیار کوچک و منفی) $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{2x} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ ### 3. نتیجه‌گیری در مجاورت مجانب خط **$x = 0$ (محور $y$)** یک مجانب قائم برای این تابع است. * **رفتار نمودار:** نمودار فقط در سمت **چپ** مجانب قائم (محور $y$) وجود دارد و هر چقدر به $x=0$ نزدیک می‌شویم، به سمت **پایین ($-\infty$)** میل می‌کند. **پاسخ نهایی:** نمودار تابع $f(x) = \frac{1}{x - |x|}$ فقط در سمت چپ مجانب قائم خود (یعنی $x = 0$) وجود دارد و به سمت **منفی بی‌نهایت ($-\infty$)** میل می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 7 صفحه 58 حسابان دوازدهم برای تعیین وضعیت نمودار در مجاورت مجانب قائم $x=1$، باید حد چپ و راست تابع $f(x) = \frac{x}{x^2 - 2x + 1}$ را در این نقطه محاسبه کنیم. 🚀 --- ### 1. ساده‌سازی ضابطه تابع مخرج تابع یک مربع کامل است: $$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$$ $$f(x) = \frac{x}{(x - 1)^2}$$ مجانب قائم تابع $x = 1$ است. ### 2. محاسبه حد چپ و راست در $x = 1$ #### الف) بررسی صورت (L) $$\lim_{x \to 1} x = 1 \quad (L=1 > 0)$$ #### ب) بررسی مخرج (0) $$(x - 1)^2$$ یک عبارت مربعی است. چون توان 2 زوج است، مخرج در نزدیکی 1 (از چپ یا راست) همواره **مثبت** است: $$\lim_{x \to 1^+} (x - 1)^2 = 0^+$$ $$\lim_{x \to 1^-} (x - 1)^2 = 0^+$$ #### ج) محاسبه نهایی حد چون حد صورت ($L=1$) مثبت و حد مخرج در هر دو طرف $0^+$ است، حد در هر دو طرف به $+\infty$ میل می‌کند: $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ ### 3. تطبیق با اشکال ما به دنبال نموداری هستیم که در مجاورت $x=1$ (خط چین)، از هر دو طرف (چپ و راست) به سمت **بالا ($+\infty$)** برود: * **شکل (الف):** از چپ به $-\infty$ و از راست به $+\infty$ می‌رود. (نادرست) * **شکل (ب):** از چپ به $+\infty$ و از راست به $-\infty$ می‌رود. (نادرست) * **شکل (پ):** از چپ به $-\infty$ و از راست به $+\infty$ می‌رود. (نادرست) * **شکل (ت):** از چپ به $+\infty$ و از راست به $+\infty$ می‌رود. (درست) **پاسخ نهایی:** شکل **(ت)** وضعیت نمودار را در همسایگی $x = 1$ نمایش می‌دهد، زیرا حد چپ و راست تابع در $x=1$ هر دو **$+\infty$** هستند.