پاسخ فعالیت صفحه 54 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 1 صفحه 54 حسابان دوازدهم سلام! این فعالیت یک مقدمه مهم برای بررسی **حد جمع توابع** است، به‌خصوص زمانی که حد یکی از توابع **نامتناهی** باشد. 🚀 --- ### الف) محاسبه حدهای مجزا #### 1. $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$ برای تابع $f(x) = \frac{1}{x^2}$، حد چپ و راست در صفر هر دو برابر $+\infty$ است (چون $x^2$ همیشه مثبت است). $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ $$\mathbf{\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty}$$ #### 2. $\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} (x + 1)$ تابع $g(x)$ یک چندجمله‌ای است و حد آن با جایگذاری مستقیم به دست می‌آید. $$\mathbf{\lim_{x \to 0} g(x) = 0 + 1 = 1}$$ --- ### ب) محاسبه حد مجموع توابع #### 1. نوشتن $f + g$ به صورت یک تابع گویا $$(f + g)(x) = f(x) + g(x) = \frac{1}{x^2} + (x + 1)$$ برای نوشتن به صورت یک کسر گویا، مخرج مشترک می‌گیریم ($x^2$): $$(f + g)(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{x(x^2)}{x^2} + \frac{1(x^2)}{x^2} = \frac{1 + x^3 + x^2}{x^2}$$ $$\mathbf{(f + g)(x) = \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2}}$$ #### 2. محاسبه حد $\lim_{x \to 0} ((f + g)(x))$ با جایگذاری $x = 0$ در تابع مجموع، به حالت $\frac{1}{0}$ می‌رسیم. * **صورت:** $\lim_{x \to 0} (x^3 + x^2 + 1) = 0^3 + 0^2 + 1 = 1$ * **مخرج:** $\lim_{x \to 0} x^2 = 0^+$ (چون $x^2$ همیشه مثبت است) $$\mathbf{\lim_{x \to 0} ((f + g)(x)) = \frac{1}{0^+} = +\infty}$$ --- ### پ) نتیجه‌گیری ما دیدیم که: * $\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$ * $\lim_{x \to 0} g(x) = 1$ * $\lim_{x \to 0} ((f + g)(x)) = +\infty$ **نتیجه:** $$\mathbf{\lim_{x \to 0} ((f + g)(x)) = \lim_{x \to 0} f(x) + \lim_{x \to 0} g(x)}$$ این حالت نشان می‌دهد که اگر **حد یک تابع نامتناهی** ($L_1 = \pm \infty$) و **حد تابع دیگر متناهی** ($L_2 = L$) باشد، آنگاه حد جمع آن‌ها نیز نامتناهی خواهد بود و همان علامت حد نامتناهی را می‌گیرد: $$L_1 + L_2 = (\pm \infty) + L = \pm \infty$$ این در واقع، **قضیه حد جمع** برای حالتی است که یکی از حدها نامتناهی باشد. 💡

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 2 صفحه 54 حسابان دوازدهم این فعالیت به بررسی **حد ضرب توابع** می‌پردازد، جایی که حد یکی از توابع نامتناهی و دیگری متناهی و ناصفر است. ⚡️ **توابع:** $f(x) = \frac{1}{x^2}$ و $g(x) = x + 1$. --- ### 1. نوشتن $f \times g$ به صورت یک تابع گویا $$(f \times g)(x) = f(x) \cdot g(x) = \left(\frac{1}{x^2}\right) (x + 1)$$ $$\mathbf{(f \times g)(x) = \frac{x + 1}{x^2}}$$ --- ### 2. محاسبه حد $\lim_{x \to 0} (f(x) \times g(x))$ با جایگذاری $x = 0$ در تابع ضرب، به حالت $\frac{1}{0}$ می‌رسیم. * **صورت:** $\lim_{x \to 0} (x + 1) = 0 + 1 = 1$ * **مخرج:** $\lim_{x \to 0} x^2 = 0^+$ (همانطور که می‌دانیم، $x^2$ همیشه مثبت است) $$\mathbf{\lim_{x \to 0} (f \times g)(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty}$$ --- ### 3. ارتباط با حدهای مجزا و نتیجه‌گیری ما در فعالیت 1 محاسبه کردیم: * $\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$ * $\lim_{x \to 0} g(x) = 1$ * $\lim_{x \to 0} (f \times g)(x) = +\infty$ $$\mathbf{\lim_{x \to 0} (f \times g)(x) = (\lim_{x \to 0} f(x)) \cdot (\lim_{x \to 0} g(x))}$$ **نتیجه:** این حالت نشان می‌دهد که اگر **حد یک تابع نامتناهی** ($L_1 = \pm \infty$) و **حد تابع دیگر متناهی و ناصفر** ($L_2 = L \neq 0$) باشد، آنگاه حد ضرب آن‌ها نیز نامتناهی خواهد بود. * **قاعده علامت:** علامت حد ضرب از **ضرب علامت‌ها** به دست می‌آید: $$L_1 \cdot L_2 = (+\infty) \cdot 1 = +\infty$$ این در واقع، **قضیه حد ضرب** برای حالتی است که یکی از حدها نامتناهی باشد و دیگری ناصفر. 💡