جواب کاردرکلاس صفحه 50 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 50 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین بر روی مفاهیم مهم **حد در بی‌نهایت (Infinite Limit)** و **حد در بی‌نهایت (Limit at Infinity)** تمرکز دارد. برای حل این تمرین، نمودارها بهترین ابزار هستند. 📈 --- ### 1. تابع $f(x) = \frac{1}{x-2}$ (حد در همسایگی مجانب عمودی) تابع $f(x)$ در $x=2$ دارای یک **مجانب عمودی** است. **الف) حد چپ در 2 ($\lim_{x \to 2^-} f(x)$)** * وقتی $x$ از مقادیر **کوچک‌تر** از 2 به 2 نزدیک می‌شود (مثل $1.9, 1.99, \dots$)، مخرج ($x-2$) یک عدد بسیار کوچک و **منفی** می‌شود (مثلاً $-0.1, -0.01, \dots$). * $\frac{1}{\text{عدد بسیار کوچک منفی}}$ یک عدد بسیار بزرگ و منفی است. * از روی نمودار نیز می‌بینیم که منحنی در سمت چپ $x=2$ به سمت پایین می‌رود. * $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ **ب) حد راست در 2 ($\lim_{x \to 2^+} f(x)$)** * وقتی $x$ از مقادیر **بزرگ‌تر** از 2 به 2 نزدیک می‌شود (مثل $2.1, 2.01, \dots$)، مخرج ($x-2$) یک عدد بسیار کوچک و **مثبت** می‌شود (مثلاً $0.1, 0.01, \dots$). * $\frac{1}{\text{عدد بسیار کوچک مثبت}}$ یک عدد بسیار بزرگ و مثبت است. * از روی نمودار نیز می‌بینیم که منحنی در سمت راست $x=2$ به سمت بالا می‌رود. * $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ --- ### 2. تابع $g(x) = \log_{2} x$ (حد در بی‌نهایت) ♾️ **ج) حد در $+\infty$ ($\lim_{x \to +\infty} g(x)$)** * وقتی $x$ به سمت $+\infty$ (بی‌نهایت مثبت) می‌رود، مقدار تابع $g(x)$ نیز افزایش می‌یابد. * از روی نمودار می‌بینیم که با بزرگ‌تر شدن مقادیر $x$، نمودار به آرامی به سمت بالا حرکت می‌کند و هیچ حد افقی ندارد. * $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \log_{2} x = +\infty$$ --- | حد خواسته شده | مقدار | |:---:|:---:| | $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ | $-\infty$ | | $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ | $+\infty$ | | $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ | $+\infty$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 50 حسابان دوازدهم این تمرین به طور خاص برای درک رفتار تابع **تانژانت** در اطراف **مجانب‌های عمودی** آن طراحی شده است. یادآوری می‌کنیم که $\tan x$ در $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ مجانب عمودی دارد. --- ### تحلیل تابع $h(x) = \tan x$ **الف) حد راست در $-\frac{\pi}{2}$ ($\lim_{x \to (-\frac{\pi}{2})^+} h(x)$)** * ما از سمت **راست** (مقادیر بزرگتر) به مجانب عمودی $x = -\frac{\pi}{2}$ نزدیک می‌شویم (یعنی از ربع چهارم). * از روی نمودار، می‌بینیم که منحنی در این همسایگی به طور نامحدود به سمت **بالا** می‌رود. * $$\lim_{x \to (-\frac{\pi}{2})^+} h(x) = +\infty$$ **ب) حد چپ در $\frac{\pi}{2}$ ($\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} h(x)$)** * ما از سمت **چپ** (مقادیر کوچکتر) به مجانب عمودی $x = \frac{\pi}{2}$ نزدیک می‌شویم (یعنی از ربع اول). * از روی نمودار، می‌بینیم که منحنی در این همسایگی به طور نامحدود به سمت **بالا** می‌رود. * $$\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} h(x) = +\infty$$ **ج) حد راست در $\frac{\pi}{2}$ ($\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} h(x)$)** * ما از سمت **راست** (مقادیر بزرگتر) به مجانب عمودی $x = \frac{\pi}{2}$ نزدیک می‌شویم (یعنی از ربع دوم). * از روی نمودار، می‌بینیم که منحنی در این همسایگی به طور نامحدود به سمت **پایین** می‌رود. * $$\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} h(x) = -\infty$$ --- | حد خواسته شده | مقدار | |:---:|:---:| | $\lim_{x \to (-\frac{\pi}{2})^+} h(x)$ | $+\infty$ | | $\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} h(x)$ | $+\infty$ | | $\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} h(x)$ | $-\infty$ |