حل تمرین صفحه 44 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 1 صفحه 44 حسابان دوازدهم سلام به شما! حل معادلات مثلثاتی، نیازمند استفاده از فرمول‌های تبدیل و درک اصول جواب‌های کلی است. بیایید این معادلات را گام به گام حل کنیم. 📐 --- ### الف) $\sin \frac{\pi}{4} = \sin 3x$ این یک معادله سینوسی استاندارد به فرم $\sin u = \sin v$ است که در آن $u = 3x$ و $v = \frac{\pi}{4}$. **فرمول کلی سینوس:** اگر $\sin u = \sin v$، آنگاه: 1. $u = 2k\pi + v$ 2. $u = 2k\pi + \pi - v$ **1. حالت اول:** $$3x = 2k\pi + \frac{\pi}{4}$$ $$\text{تقسیم بر 3:} \quad x = \frac{2k\pi}{3} + \frac{\pi}{12}$$ **2. حالت دوم:** $$3x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{4} = 2k\pi + \frac{3\pi}{4}$$ $$\text{تقسیم بر 3:} \quad x = \frac{2k\pi}{3} + \frac{3\pi}{12} = \frac{2k\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$$ **جواب نهایی (الف):** $$x = \frac{2k\pi}{3} + \frac{\pi}{12} \quad \text{و} \quad x = \frac{2k\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \quad (k \in \mathbb{Z})$$ --- ### ب) $\cos 2x - \cos x + 1 = 0$ برای حل این معادله، از اتحاد **کسینوس زاویه دوبرابر** ($ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1$) استفاده می‌کنیم تا همه جملات را بر حسب $\cos x$ بنویسیم. $$(2\cos^2 x - 1) - \cos x + 1 = 0$$ $$2\cos^2 x - \cos x = 0$$ از $\cos x$ فاکتور می‌گیریم: $$\cos x (2\cos x - 1) = 0$$ **1. حالت اول: $\cos x = 0$** $$\cos x = 0 \implies x = k\pi + \frac{\pi}{2}$$ **2. حالت دوم: $2\cos x - 1 = 0$** $$2\cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{2}$$ $$\cos x = \cos \frac{\pi}{3}$$ $$\text{فرمول کلی کسینوس:} \quad x = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3}$$ **جواب نهایی (ب):** $$x = k\pi + \frac{\pi}{2} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})$$ --- ### پ) $\cos x = \cos 2x$ این یک معادله کسینوسی استاندارد به فرم $\cos u = \cos v$ است که در آن $u = x$ و $v = 2x$. **فرمول کلی کسینوس:** اگر $\cos u = \cos v$، آنگاه: $u = 2k\pi \pm v$ **1. حالت اول (علامت مثبت):** $$x = 2k\pi + 2x$$ $$x - 2x = 2k\pi \implies -x = 2k\pi \implies x = -2k\pi$$ $$\text{چون } k \in \mathbb{Z} \text{، } -k \text{ هم } k \text{ است:} \quad x = 2k\pi$$ **2. حالت دوم (علامت منفی):** $$x = 2k\pi - 2x$$ $$x + 2x = 2k\pi \implies 3x = 2k\pi$$ $$\text{تقسیم بر 3:} \quad x = \frac{2k\pi}{3}$$ **نتیجه:** چون جواب $x = 2k\pi$ زیرمجموعه جواب $x = \frac{2k\pi}{3}$ است (مثلاً برای $k=3$ در جواب دوم)، جواب کلی همان حالت دوم است. **جواب نهایی (پ):** $$x = \frac{2k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})$$ --- ### ت) $\cos 2x - 3\sin x + 1 = 0$ از اتحاد **کسینوس زاویه دوبرابر** ($ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$) استفاده می‌کنیم تا همه جملات بر حسب $\sin x$ باشند. $$(1 - 2\sin^2 x) - 3\sin x + 1 = 0$$ $$-2\sin^2 x - 3\sin x + 2 = 0$$ $$\text{ضرب در } -1: \quad 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$$ با تغییر متغیر $t = \sin x$، معادله درجه دوم $2t^2 + 3t - 2 = 0$ به دست می‌آید. با فاکتورگیری یا استفاده از دلتا: $$(2t - 1)(t + 2) = 0$$ **1. حالت اول: $\sin x = t = -2$** $$\sin x = -2$$ $$\text{چون } -1 \leq \sin x \leq 1 \text{، این حالت } \mathbf{\text{جواب ندارد}} \text{ (غیرقابل قبول است.)}$$ **2. حالت دوم: $\sin x = t = \frac{1}{2}$** $$\sin x = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$$ **فرمول کلی سینوس:** $$x = 2k\pi + \frac{\pi}{6}$$ $$x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{6} = 2k\pi + \frac{5\pi}{6}$$ **جواب نهایی (ت):** $$x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6} \quad (k \in \mathbb{Z})$$ --- ### ث) $\cos^2 x - \sin x = \frac{1}{4}$ از اتحاد $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ استفاده می‌کنیم تا همه جملات بر حسب $\sin x$ باشند. $$(1 - \sin^2 x) - \sin x = \frac{1}{4}$$ $$\text{ضرب در 4:} \quad 4(1 - \sin^2 x - \sin x) = 1$$ $$4 - 4\sin^2 x - 4\sin x = 1$$ $$\text{مرتب‌سازی:} \quad 4\sin^2 x + 4\sin x - 3 = 0$$ با تغییر متغیر $t = \sin x$، معادله $4t^2 + 4t - 3 = 0$ به دست می‌آید. با فاکتورگیری: $$(2t - 1)(2t + 3) = 0$$ **1. حالت اول: $\sin x = t = -\frac{3}{2}$** $$\sin x = -\frac{3}{2}$$ $$\text{چون } -1 \leq \sin x \leq 1 \text{، این حالت } \mathbf{\text{جواب ندارد}} \text{ (غیرقابل قبول است.)}$$ **2. حالت دوم: $\sin x = t = \frac{1}{2}$** $$\sin x = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$$ **فرمول کلی سینوس:** $$x = 2k\pi + \frac{\pi}{6}$$ $$x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{6} = 2k\pi + \frac{5\pi}{6}$$ **جواب نهایی (ث):** $$x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6} \quad (k \in \mathbb{Z})$$ --- ### ج) $\sin x - \cos 2x = 0$ از اتحاد $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ استفاده می‌کنیم تا همه جملات بر حسب $\sin x$ باشند. $$\sin x - (1 - 2\sin^2 x) = 0$$ $$\sin x - 1 + 2\sin^2 x = 0$$ $$\text{مرتب‌سازی:} \quad 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$$ با تغییر متغیر $t = \sin x$، معادله $2t^2 + t - 1 = 0$ به دست می‌آید. با فاکتورگیری: $$(2t - 1)(t + 1) = 0$$ **1. حالت اول: $\sin x = t = -1$** $$\sin x = -1 \implies x = 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$$ $$\text{یا به صورت ساده‌تر:} \quad x = 2k\pi - \frac{\pi}{2}$$ **2. حالت دوم: $\sin x = t = \frac{1}{2}$** $$\sin x = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$$ **فرمول کلی سینوس:** $$x = 2k\pi + \frac{\pi}{6}$$ $$x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{6} = 2k\pi + \frac{5\pi}{6}$$ **جواب نهایی (ج):** $$x = 2k\pi - \frac{\pi}{2} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6} \quad (k \in \mathbb{Z})$$ --- ### چ) $\tan (2x - 1) = 0$ فرمول کلی جواب‌های تانژانت: اگر $\tan u = 0$، آنگاه $u = k\pi$. $$2x - 1 = k\pi$$ $$2x = k\pi + 1$$ $$\text{تقسیم بر 2:} \quad x = \frac{k\pi + 1}{2}$$ **جواب نهایی (چ):** $$x = \frac{k\pi + 1}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$$ --- ### ح) $\tan 3x = \tan \pi x$ این یک معادله تانژانتی استاندارد به فرم $\tan u = \tan v$ است که در آن $u = 3x$ و $v = \pi x$. **فرمول کلی تانژانت:** اگر $\tan u = \tan v$، آنگاه $u = k\pi + v$. $$3x = k\pi + \pi x$$ $$\text{مرتب‌سازی:} \quad 3x - \pi x = k\pi$$ $$\text{فاکتورگیری از } x: \quad x(3 - \pi) = k\pi$$ $$\text{تقسیم بر } 3 - \pi: \quad x = \frac{k\pi}{3 - \pi}$$ **جواب نهایی (ح):** $$x = \frac{k\pi}{3 - \pi} \quad (k \in \mathbb{Z})$$ **توجه:** چون $3 - \pi \approx 3 - 3.14 = -0.14 \neq 0$ است، تقسیم مجاز است. --- | مسئله | جواب کلی | |:---:|:---:| | الف) $2\sin x - \sqrt{3} = 0$ | $x = \frac{2k\pi}{3} + \frac{\pi}{12} \quad \text{و} \quad x = \frac{2k\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$ | | ب) $\cos 2x - \cos x + 1 = 0$ | $x = k\pi + \frac{\pi}{2} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3}$ | | پ) $\cos x = \cos 2x$ | $x = \frac{2k\pi}{3}$ | | ت) $\cos 2x - 3\sin x + 1 = 0$ | $x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6}$ | | ث) $\cos^2 x - \sin x = \frac{1}{4}$ | $x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6}$ | | ج) $\sin x - \cos 2x = 0$ | $x = 2k\pi - \frac{\pi}{2} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6}$ | | چ) $\tan (2x - 1) = 0$ | $x = \frac{k\pi + 1}{2}$ | | ح) $\tan 3x = \tan \pi x$ | $x = \frac{k\pi}{3 - \pi}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 2 صفحه 44 حسابان دوازدهم سلام! این سوال یک کاربرد عملی از **فرمول مثلثاتی مساحت مثلث** است که با حل یک معادله مثلثاتی به تعداد حالت‌های ممکن منجر می‌شود. 🔺 --- ### 1. فرمول مساحت مثلث مساحت مثلثی که دو ضلع آن $a$ و $b$ باشند و زاویه محصور بین آن‌ها $\theta$ باشد، از رابطه زیر به دست می‌آید: $$S = \frac{1}{2} a b \sin \theta$$ ### 2. جایگذاری مقادیر * **مساحت ($S$):** $3$ سانتی‌متر مربع * **اضلاع ($a, b$):** $2$ سانتی‌متر و $6$ سانتی‌متر * **زاویه محصور ($\theta$):** زاویه‌ای که باید پیدا کنیم. $$3 = \frac{1}{2} (2) (6) \sin \theta$$ $$3 = 6 \sin \theta$$ ### 3. حل معادله مثلثاتی $$\sin \theta = \frac{3}{6} \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$$ چون $\theta$ یک زاویه داخلی مثلث است، باید در بازه $(0, \pi)$ قرار داشته باشد. $\sin \theta$ مثبت است، پس $\theta$ در ربع اول یا دوم است. * **زاویه مرجع:** $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$، پس زاویه مرجع $\alpha = \frac{\pi}{6}$ است. * **حالت اول (ربع اول):** $$\theta_1 = \frac{\pi}{6} \quad (\text{یا } 30^\circ)$$ * **حالت دوم (ربع دوم):** $$\theta_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \quad (\text{یا } 150^\circ)$$ ### 4. نتیجه‌گیری چون دو مقدار مجزا ($\theta_1$ و $\theta_2$) برای زاویه محصور بین دو ضلع داده شده وجود دارد، و هر یک از این زوایا یک مثلث منحصر به فرد (با توجه به دو ضلع و زاویه محصور) ایجاد می‌کند: * **مثلث اول:** دو ضلع 2 و 6 با زاویه محصور $30^\circ$. * **مثلث دوم:** دو ضلع 2 و 6 با زاویه محصور $150^\circ$. **پاسخ نهایی:** **دو مثلث** با این خاصیت‌ها می‌توان ساخت.