جواب کاردرکلاس صفحه 37 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 37 حسابان دوازدهم سلام! حل این معادلات مثلثاتی به پیدا کردن **تمام زوایای $x$** نیاز دارد که در معادله صدق می‌کنند. برای این کار باید از **فرمول کلی جواب‌های معادلات سینوسی** استفاده کنیم. 🔑 --- ### فرمول کلی جواب‌های $\sin x = a$ اگر $\sin x = \sin \alpha$ باشد، جواب‌های کلی به دو دسته تقسیم می‌شوند: 1. $$x = 2k\pi + \alpha$$ 2. $$x = 2k\pi + (\pi - \alpha)$$ (که در آن $k$ یک عدد صحیح است، $k \in \mathbb{Z}$) --- ### الف) حل معادله $2\sin x - \sqrt{3} = 0$ #### گام 1: ساده‌سازی معادله به فرم $\sin x = a$ $$2\sin x = \sqrt{3}$$ $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ #### گام 2: یافتن زاویه اصلی $\alpha$ زاویه‌ای در ربع اول که سینوس آن $\frac{\sqrt{3}}{2}$ است، $\alpha = \frac{\pi}{3}$ (یا $60^\circ$) است. $$\sin x = \sin \frac{\pi}{3}$$ #### گام 3: نوشتن جواب‌های کلی با استفاده از فرمول کلی، دو دسته جواب را می‌نویسیم: 1. $$x = 2k\pi + \frac{\pi}{3}$$ 2. $$x = 2k\pi + \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = 2k\pi + \frac{2\pi}{3}$$ **جواب نهایی (الف):** $$x = 2k\pi + \frac{\pi}{3} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{2\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})$$ --- ### ب) حل معادله $4\sin x + \sqrt{8} = 0$ #### گام 1: ساده‌سازی معادله به فرم $\sin x = a$ ابتدا $\sqrt{8}$ را ساده می‌کنیم: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$. $$4\sin x = -\sqrt{8}$$ $$4\sin x = -2\sqrt{2}$$ $$\sin x = \frac{-2\sqrt{2}}{4} \implies \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ #### گام 2: یافتن زاویه اصلی $\alpha$ چون $\sin x$ **منفی** است، جواب‌ها در ربع سوم و چهارم قرار دارند. ابتدا زاویه مرجع (زاویه‌ای در ربع اول که سینوس آن $\frac{\sqrt{2}}{2}$ است) را پیدا می‌کنیم: $\frac{\pi}{4}$. ما از این زاویه مرجع استفاده می‌کنیم تا $\alpha$ را به فرم $\sin x = \sin (-\alpha)$ بیان کنیم. ساده‌ترین راه استفاده از زوایای منفی است: $$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)$$ پس، **$\alpha = -\frac{\pi}{4}$** است. #### گام 3: نوشتن جواب‌های کلی 1. $$x = 2k\pi + \left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2k\pi - \frac{\pi}{4}$$ 2. $$x = 2k\pi + \left(\pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = 2k\pi + \left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = 2k\pi + \frac{5\pi}{4}$$ **جواب نهایی (ب):** $$x = 2k\pi - \frac{\pi}{4} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{4} \quad (k \in \mathbb{Z})$$ **توجه:** جواب‌ها در ربع سوم ($\frac{5\pi}{4}$) و ربع چهارم ($-\frac{\pi}{4}$) قرار دارند، که با منفی بودن سینوس سازگار است.