پاسخ فعالیت صفحه 36 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 1 صفحه 36 حسابان دوازدهم سلام به شما! این فعالیت مقدمه‌ای برای حل **معادلات مثلثاتی** است. معادله $\sin x = \frac{1}{2}$ بی‌نهایت جواب دارد. بیایید چند مورد از این زوایا را پیدا کنیم. 📐 --- ### 1. زوایای اصلی (در بازه $[0, 2\pi]$) ابتدا باید زوایایی را که سینوس آن‌ها $\frac{1}{2}$ است در یک دور کامل پیدا کنیم. چون $\sin x$ مثبت است، زوایا در **ربع اول و دوم** قرار دارند: * **زاویه اصلی (ربع اول):** زاویه‌ای که سینوس آن $\frac{1}{2}$ باشد، $\frac{\pi}{6}$ (یا $30^\circ$) است. $$x_1 = \frac{\pi}{6}$$ * **زاویه مکمل (ربع دوم):** زاویه مکمل $\frac{\pi}{6}$ در ربع دوم به صورت $\pi - \frac{\pi}{6}$ به دست می‌آید: $$x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$ ### 2. زوایای هم‌انتها (در بازه‌های دیگر) برای پیدا کردن زوایای بیشتر، می‌توانیم **دوره تناوب سینوس** ($2\pi$) را به این دو جواب اصلی اضافه یا از آن‌ها کم کنیم: | زاویه اصلی | با اضافه کردن $2\pi$ | با کم کردن $2\pi$ | |:---:|:---:|:---:| | $x_1 = \frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$ | | $x_2 = \frac{5\pi}{6}$ | $\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$ | $\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$ | **پاسخ:** چند زاویه که مقدار سینوس آن‌ها برابر $\frac{1}{2}$ است، عبارتند از: $$\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, -\frac{11\pi}{6}, \dots$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 2 صفحه 36 حسابان دوازدهم در این بخش، ما جواب‌های جبری معادله $\sin x = \frac{1}{2}$ را با **نقاط تقاطع** روی نمودار تطبیق می‌دهیم. این کار ارتباط بین جبر و نمودار را در معادلات مثلثاتی نشان می‌دهد. --- ### 1. تطبیق مقادیر با نمودار زوایایی که در فعالیت 1 پیدا کردیم، دقیقاً همان طول‌های نقاط تقاطع بین نمودار $y = \sin x$ (موج سبز) و خط افقی $y = \frac{1}{2}$ (خط چین سیاه) هستند. نمودار نشان می‌دهد که دو دسته نقطه تقاطع وجود دارند: * **دسته آبی (شبیه ربع اول):** نقاطی که در شروع هر دور تناوب قرار می‌گیرند (مثل $\frac{\pi}{6}$). این نقاط با $x = 2k\pi + \frac{\pi}{6}$ به دست می‌آیند. * **دسته صورتی (شبیه ربع دوم):** نقاطی که در انتهای نیمه اول هر دور تناوب قرار می‌گیرند (مثل $\pi - \frac{\pi}{6}$). این نقاط با $x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{6}$ به دست می‌آیند. ### 2. بررسی نقاط داده شده در نمودار نقاط تقاطع در نمودار با مقادیر زیر مشخص شده‌اند: | دسته نقاط | مختصات $x$ (مثال‌هایی از روی نمودار) | |:---:|:---:| | **آبی** | $\frac{\pi}{6}$, $2\pi + \frac{\pi}{6}$, $-2\pi + \frac{\pi}{6}$, $4\pi + \frac{\pi}{6}$ | | **صورتی** | $\pi - \frac{\pi}{6}$, $-\pi - \frac{\pi}{6}$, $3\pi - \frac{\pi}{6}$, $5\pi - \frac{\pi}{6}$ | * مقادیر ما که در فعالیت 1 مثال زدیم ($rac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, -\frac{11\pi}{6}$)، **همگی** در بین این نقاط نمایش داده شده روی نمودار (با رنگ‌های آبی و صورتی) هستند. **پاسخ:** مقادیری که پیدا کردیم، طول‌های نقاط تقاطع روی نمودار هستند. این نقاط به دلیل تناوب تابع سینوس، در الگوهای منظمی تکرار می‌شوند و دو دسته اصلی آبی و صورتی (متناظر با زوایای $\frac{\pi}{6}$ و $\pi - \frac{\pi}{6}$ در هر دوره تناوب) را تشکیل می‌دهند.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 3 صفحه 36 حسابان دوازدهم این فعالیت برای تأیید این نکته است که **نقاط تقاطع دو نمودار، ریشه‌های معادله‌ای** هستند که از برابر قرار دادن ضابطه‌های آن‌ها به دست می‌آید. --- ### 1. جایگذاری و بررسی صدق ما باید طول (مختصات $x$) نقاط تقاطع را در معادله $\sin x = \frac{1}{2}$ جایگذاری کنیم: * **نقطه $\frac{\pi}{6}$ (آبی):** $$\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$ **(صدق می‌کند)** * **نقطه $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ (صورتی):** $$\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$ **(صدق می‌کند)** * **نقطه $2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$ (آبی):** $$\sin \left(\frac{13\pi}{6}\right) = \sin \left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$ **(صدق می‌کند)** * **نقطه $-\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$ (صورتی):** $$\sin \left(-\frac{7\pi}{6}\right) = -\sin \left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\sin \left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\left(-\sin \frac{\pi}{6}\right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$ **(صدق می‌کند)** ### 2. نتیجه‌گیری 🎯 * **آیا در معادله صدق می‌کنند؟** بله، تمام طول‌های نقاط تقاطع در معادله $\sin x = \frac{1}{2}$ صدق می‌کنند. * **نتیجه‌ای که می‌گیریم:** این بررسی تأیید می‌کند که **ریشه‌های یک معادله مثلثاتی** (مانند $\sin x = k$)، دقیقاً متناظر با **طول‌های نقاط تقاطع** نمودار تابع مثلثاتی ($y = \sin x$) و خط افقی ($y = k$) هستند. به دلیل **تناوب** توابع مثلثاتی، این معادله دارای **بی‌نهایت ریشه** است که به صورت الگوهای منظمی تکرار می‌شوند. **نتیجه:** یافتن ریشه‌های معادله مثلثاتی $\sin x = k$ معادل با پیدا کردن طول نقاط تقاطع $y = \sin x$ و $y = k$ است که بی‌نهایت جواب دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 4 صفحه 36 حسابان دوازدهم این فعالیت به شما کمک می‌کند تا **بی‌نهایت جواب** یک معادله مثلثاتی را بر اساس مفهوم **زاویه‌های هم‌انتها** (Coterminal Angles) و دوره تناوب تابع سینوس، دسته‌بندی و تعمیم دهید. --- ### 1. دسته‌بندی زوایای هم‌انتها زاویه‌های **هم‌انتها**، زوایایی هستند که شعاع انتهایی آن‌ها در دایره مثلثاتی بر هم منطبق است و با افزودن (یا کم کردن) مضارب صحیح دوره تناوب ($2\pi$) به یکدیگر می‌رسند. #### الف) زوایای هم‌انتها با $\frac{\pi}{6}$ (دسته آبی) این دسته شامل زوایایی است که با **افزودن مضرب زوج $\pi$** به $\frac{\pi}{6}$ به دست می‌آیند. این زوایا در نمودار قبل با **رنگ آبی** مشخص شده‌اند. * **الگوی عمومی:** $$x = 2k\pi + \frac{\pi}{6}, \quad k \in \mathbb{Z}$$ * **ادامه از دو طرف:** $$\dots, -4\pi + \frac{\pi}{6}, -2\pi + \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, 2\pi + \frac{\pi}{6}, 4\pi + \frac{\pi}{6}, \dots$$ --- #### ب) زوایای هم‌انتها با $\pi - \frac{\pi}{6}$ (دسته صورتی) این دسته شامل زوایایی است که با **افزودن مضرب زوج $\pi$** به $\pi - \frac{\pi}{6}$ به دست می‌آیند. این زوایا در نمودار قبل با **رنگ صورتی** مشخص شده‌اند. * **الگوی عمومی:** $$x = 2k\pi + \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right), \quad k \in \mathbb{Z}$$ * **ادامه از دو طرف:** * **نکته:** $-2\pi + \pi - \frac{\pi}{6} = -\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$ * **نکته:** $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ * **نکته:** $3\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$ $$\dots, -3\pi + \frac{\pi}{6}, -\pi + \frac{\pi}{6}, \pi - \frac{\pi}{6}, 3\pi - \frac{\pi}{6}, 5\pi - \frac{\pi}{6}, \dots$$ ### 2. نتیجه‌گیری (جواب نهایی معادله $\sin x = \frac{1}{2}$) جواب‌های کلی معادله $\sin x = \frac{1}{2}$ از اجتماع این دو دسته زاویه هم‌انتها به دست می‌آیند. اگر $\alpha = \frac{\pi}{6}$ باشد، جواب‌ها عبارتند از: 1. **دسته اول (آبی):** $$x = 2k\pi + \alpha$$ (مضارب زوج $\pi$) 2. **دسته دوم (صورتی):** $$x = 2k\pi + (\pi - \alpha)$$ (مضارب فرد $\pi$) **پاسخ:** $$\text{هم انتها با } \frac{\pi}{6} \text{ (آبی): } \dots, -4\pi + \frac{\pi}{6}, -2\pi + \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, 2\pi + \frac{\pi}{6}, 4\pi + \frac{\pi}{6}, \dots$$ $$\text{هم انتها با } \pi - \frac{\pi}{6} \text{ (صورتی): } \dots, -3\pi + \frac{\pi}{6}, -\pi + \frac{\pi}{6}, \pi - \frac{\pi}{6}, 3\pi - \frac{\pi}{6}, 5\pi - \frac{\pi}{6}, \dots$$