حل تمرین صفحه 33 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 1 صفحه 33 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین مهارت شما را در محاسبه سه پارامتر کلیدی توابع مثلثاتی (ماکزیمم، مینیمم و دوره تناوب) بر اساس فرمت کلی $$y = A \sin(Bx) + C$$ یا $$y = A \cos(Bx) + C$$ تقویت می‌کند. **قوانین کلی:** * $\text{ماکزیمم}: y_{\max} = |A| + C$ * $\text{مینیمم}: y_{\min} = -|A| + C$ * $\text{دوره تناوب}: T = \frac{2\pi}{|B|}$ --- ### الف) $y = 1 + 2 \sin 7x \implies y = 2 \sin 7x + 1$ * **پارامترها:** $A = 2$ (دامنه)، $B = 7$ (ضریب $x$)، $C = 1$ (انتقال عمودی) 1. **ماکزیمم:** $$y_{\max} = |2| + 1 = 2 + 1 = 3$$ 2. **مینیمم:** $$y_{\min} = -|2| + 1 = -2 + 1 = -1$$ 3. **دوره تناوب:** $$T = \frac{2\pi}{|7|} = \frac{2\pi}{7}$$ --- ### ب) $y = \sqrt{1 - \cos \frac{\pi}{2}x}$ این تابع به صورت استاندارد نیست. باید از نامساوی‌های $\cos$ استفاده کنیم: 1. **مینیمم و ماکزیمم $\cos$:** $$-1 \leq \cos \frac{\pi}{2}x \leq 1$$ 2. **ضرب در $-1$ (جهت نامساوی عوض می‌شود):** $$-1 \leq -\cos \frac{\pi}{2}x \leq 1$$ 3. **اضافه کردن 1:** $$1 - 1 \leq 1 - \cos \frac{\pi}{2}x \leq 1 + 1$$ $$0 \leq 1 - \cos \frac{\pi}{2}x \leq 2$$ 4. **ریشه گرفتن (نامساوی حفظ می‌شود چون همه مثبت هستند):** $$\sqrt{0} \leq \sqrt{1 - \cos \frac{\pi}{2}x} \leq \sqrt{2}$$ * **ماکزیمم:** $$y_{\max} = \sqrt{2}$$ * **مینیمم:** $$y_{\min} = 0$$ 5. **دوره تناوب:** ضریب $B = \frac{\pi}{2}$ است. $$T = \frac{2\pi}{|\frac{\pi}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4$$ --- ### پ) $y = -\pi \sin (\frac{x}{2}) - 2$ * **پارامترها:** $A = -\pi$ (دامنه)، $B = \frac{1}{2}$ (ضریب $x$)، $C = -2$ (انتقال عمودی) 1. **ماکزیمم:** $$y_{\max} = |-\pi| + (-2) = \pi - 2$$ 2. **مینیمم:** $$y_{\min} = -|-\pi| + (-2) = -\pi - 2$$ 3. **دوره تناوب:** $$T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = 4\pi$$ --- ### ت) $y = -\frac{3}{4} \cos 3x$ * **پارامترها:** $A = -\frac{3}{4}$ (دامنه)، $B = 3$ (ضریب $x$)، $C = 0$ (انتقال عمودی) 1. **ماکزیمم:** $$y_{\max} = |-\frac{3}{4}| + 0 = \frac{3}{4}$$ 2. **مینیمم:** $$y_{\min} = -|-\frac{3}{4}| + 0 = -\frac{3}{4}$$ 3. **دوره تناوب:** $$T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$$ | تابع | ماکزیمم ($y_{\max}$) | مینیمم ($y_{\min}$) | دوره تناوب ($T$) | |:---:|:---:|:---:|:---:| | الف) $1 + 2 \sin 7x$ | $3$ | $-1$ | $\frac{2\pi}{7}$ | | ب) $\sqrt{1 - \cos \frac{\pi}{2}x}$ | $\sqrt{2}$ | $0$ | $4$ | | پ) $-\pi \sin (\frac{x}{2}) - 2$ | $\pi - 2$ | $-\pi - 2$ | $4\pi$ | | ت) $-\frac{3}{4} \cos 3x$ | $\frac{3}{4}$ | $-\frac{3}{4}$ | $\frac{2\pi}{3}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 2 صفحه 33 حسابان دوازدهم برای نظیر کردن توابع به نمودارها، باید **دوره تناوب**، **ماکزیمم** و **مینیمم** هر تابع را محاسبه کنیم و با نمودار مربوطه مطابقت دهیم. --- ### تحلیل توابع | تابع | $A$ | $B$ | $C$ | $T = \frac{2\pi}{|B|}$ | $y_{\max} = |A| + C$ | $y_{\min} = -|A| + C$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | الف) $y = \sin \pi x$ | 1 | $\pi$ | 0 | $\frac{2\pi}{\pi} = 2$ | $1$ | $-1$ | | ب) $y = \sin 2x$ | 1 | 2 | 0 | $\frac{2\pi}{2} = \pi$ | $1$ | $-1$ | | پ) $y = 2 - \cos \frac{1}{2} x$ | $-1$ | $\frac{1}{2}$ | 2 | $\frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$ | $|-1| + 2 = 3$ | $-|-1| + 2 = 1$ | | ت) $y = 1 - \cos 2x$ | $-1$ | 2 | 1 | $\frac{2\pi}{2} = \pi$ | $|-1| + 1 = 2$ | $-|-1| + 1 = 0$ | --- ### تحلیل نمودارها 1. **نمودار (1):** ماکزیمم 3، مینیمم 1. نقطه شروع در $x=0$ از ماکزیمم نیست (شبیه سینوس). دوره تناوب: موج از 0 تا $4\pi$ کامل می‌شود. $\mathbf{T=4\pi}$. 2. **نمودار (2):** ماکزیمم 1، مینیمم $-1$. دوره تناوب: موج از $-\pi$ تا $\pi$ (طول $2\pi$) کامل می‌شود. $\mathbf{T=2\pi}$. 3. **نمودار (3):** ماکزیمم 2، مینیمم 0. شروع در $x=0$ از مینیمم (0) است. دوره تناوب: موج از $0$ تا $\pi$ کامل می‌شود. $\mathbf{T=\pi}$. 4. **نمودار (4):** ماکزیمم 1، مینیمم $-1$. دوره تناوب: موج از $0$ تا $\pi$ کامل می‌شود. $\mathbf{T=\pi}$. --- ### نظیر کردن | تابع | $T$ | $y_{\max}, y_{\min}$ | ویژگی | نظیر با نمودار | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | الف) $y = \sin \pi x$ | 2 | $1, -1$ | $T=2$ (نمودار 2) | **(2)** | | ب) $y = \sin 2x$ | $\pi$ | $1, -1$ | $T=\pi$ و عبور از $(0, 0)$ (نمودار 4) | **(4)** | | پ) $y = 2 - \cos \frac{1}{2} x$ | $4\pi$ | $3, 1$ | $T=4\pi$ (نمودار 1) | **(1)** | | ت) $y = 1 - \cos 2x$ | $\pi$ | $2, 0$ | $T=\pi$ و $y$ در $[0, 2]$ (نمودار 3) | **(3)** | **جواب نهایی:** الف $\to$ (2)، ب $\to$ (4)، پ $\to$ (1)، ت $\to$ (3)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 3 صفحه 33 حسابان دوازدهم هدف این تمرین استخراج پارامترهای $A$، $B$ و $C$ برای ساختن ضابطه تابع مثلثاتی (سینوس یا کسینوس) به فرم $$y = A \sin(Bx) + C$$ است. **فرمول‌های استخراج پارامترها:** * $\mathbf{A}$ (دامنه): $$|A| = \frac{y_{\max} - y_{\min}}{2}$$ * $\mathbf{C}$ (انتقال عمودی/مرکز موج): $$C = \frac{y_{\max} + y_{\min}}{2}$$ * $\mathbf{B}$ (ضریب $x$): $$|B| = \frac{2\pi}{T}$$ --- ### الف) $T = \pi$ ، $\max = 3$ ، $\min = -3$ 1. **$A$:** $$|A| = \frac{3 - (-3)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \implies A = 3$$ 2. **$C$:** $$C = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0$$ 3. **$B$:** $$|B| = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \implies B = 2$$ * **ضابطه پیشنهادی:** $$y = 3 \sin 2x$$ (یا $y = 3 \cos 2x$) --- ### ب) $T = 3$ ، $\max = 9$ ، $\min = 3$ 1. **$A$:** $$|A| = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \implies A = 3$$ 2. **$C$:** $$C = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ 3. **$B$:** $$|B| = \frac{2\pi}{3} \implies B = \frac{2\pi}{3}$$ * **ضابطه پیشنهادی:** $$y = 3 \sin \left( \frac{2\pi}{3} x \right) + 6$$ (یا $y = 3 \cos \left( \frac{2\pi}{3} x \right) + 6$) --- ### پ) $T = 4\pi$ ، $\max = -1$ ، $\min = -7$ 1. **$A$:** $$|A| = \frac{-1 - (-7)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \implies A = 3$$ 2. **$C$:** $$C = \frac{-1 + (-7)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ 3. **$B$:** $$|B| = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2} \implies B = \frac{1}{2}$$ * **ضابطه پیشنهادی:** $$y = 3 \sin \left( \frac{1}{2} x \right) - 4$$ (یا $y = 3 \cos \left( \frac{1}{2} x \right) - 4$) --- ### ت) $T = \frac{\pi}{2}$ ، $\max = 1$ ، $\min = -1$ 1. **$A$:** $$|A| = \frac{1 - (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \implies A = 1$$ 2. **$C$:** $$C = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$$ 3. **$B$:** $$|B| = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4 \implies B = 4$$ * **ضابطه پیشنهادی:** $$y = \sin 4x$$ (یا $y = \cos 4x$) --- | مسئله | ضابطه پیشنهادی (با سینوس) | |:---:|:---:| | الف) | $y = 3 \sin 2x$ | | ب) | $y = 3 \sin \left( \frac{2\pi}{3} x \right) + 6$ | | پ) | $y = 3 \sin \left( \frac{1}{2} x \right) - 4$ | | ت) | $y = \sin 4x$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 4 صفحه 33 حسابان دوازدهم برای نوشتن ضابطه هر نمودار، از پارامترهای **ماکزیمم ($y_{\max}$)**، **مینیمم ($y_{\min}$)** و **دوره تناوب ($T$)** استفاده می‌کنیم تا ضرایب $A$، $B$ و $C$ در فرمول عمومی $$y = A \sin(Bx) + C$$ (یا کسینوس) را بیابیم. --- ### الف) تحلیل نمودار اول (موج آرام) 🌊 1. **استخراج پارامترها از نمودار:** * **ماکزیمم ($y_{\max}$):** 2 * **مینیمم ($y_{\min}$):** -2 * **دوره تناوب ($T$):** نمودار از $0$ شروع و در $4\pi$ یک موج کامل را تمام می‌کند. $T = 4\pi$ 2. **محاسبه $A$ و $C$:** * **$|A|$ (دامنه):** $$|A| = \frac{2 - (-2)}{2} = 2 \implies A = 2$$ * **$C$ (انتقال عمودی):** $$C = \frac{2 + (-2)}{2} = 0$$ 3. **محاسبه $B$:** * $$|B| = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2} \implies B = \frac{1}{2}$$ 4. **نوشتن ضابطه:** * چون نمودار از نقطه $(0, 0)$ به سمت بالا شروع شده است (شبیه سینوس)، از تابع سینوس استفاده می‌کنیم. * **ضابطه نهایی (الف):** $$y = 2 \sin \left(\frac{1}{2} x\right)$$ --- ### ب) تحلیل نمودار دوم (موج سریع) ⚡️ 1. **استخراج پارامترها از نمودار:** * **ماکزیمم ($y_{\max}$):** 1 * **مینیمم ($y_{\min}$):** -1 * **دوره تناوب ($T$):** نمودار در بازه $\pi$ (مثلاً از $0$ تا $\pi$) دو موج کامل را طی می‌کند. پس $T = \frac{\pi}{2}$ است. (اگر نقطه $x=\frac{i}{2}$ را ببینید، دو موج کامل طی شده است. پس یک موج $\frac{\pi}{2}$ است.) 2. **محاسبه $A$ و $C$:** * **$|A|$ (دامنه):** $$|A| = \frac{1 - (-1)}{2} = 1 \implies A = 1$$ * **$C$ (انتقال عمودی):** $$C = \frac{1 + (-1)}{2} = 0$$ 3. **محاسبه $B$:** * $$|B| = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4 \implies B = 4$$ 4. **نوشتن ضابطه:** * چون نمودار از نقطه $(0, 0)$ شروع شده و به سمت بالا می‌رود، از تابع سینوس استفاده می‌کنیم. * **ضابطه نهایی (ب):** $$y = \sin 4x$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 5 صفحه 33 حسابان دوازدهم این تمرین به دقت در تعریف **صعودی بودن (Increasing)** تابع تانژانت ($\tan x$) می‌پردازد. --- ### الف) تابع تانژانت در دامنه‌اش صعودی است. **نادرست.** ❌ * **توضیح:** دامنه تابع تانژانت ($\mathbb{R} - \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}$) شامل **نواحی ناپیوسته** است که توسط مجانب‌های عمودی از هم جدا شده‌اند. همانطور که در مثال $x_1 = \frac{\pi}{4}$ و $x_2 = \frac{3\pi}{4}$ دیدیم ($x_1 < x_2$ اما $\tan x_1 > \tan x_2$)، تابع در کل دامنه‌اش صعودی نیست. * **نکته:** صعودی بودن یک تابع به صورت سراسری تعریف می‌شود و **جهش** از $+\infty$ به $-\infty$ در مجانب‌ها، این شرط را نقض می‌کند. --- ### ب) می‌توان بازه‌ای یافت که تابع تانژانت در آن نزولی باشد. **نادرست.** ❌ * **توضیح:** تابع تانژانت در هر جایی که تعریف شده، **اکیداً صعودی** است. برای مثال، در ربع دوم (که مقادیر منفی هستند)، با افزایش $x$، $\tan x$ از $-\infty$ به $0$ می‌رسد که یک روند افزایشی است. بنابراین، هیچ بازه‌ای وجود ندارد که در آن تانژانت نزولی باشد. --- ### پ) تابع تانژانت در هر بازه‌ای که در آن تعریف شده باشد، صعودی است. **درست.** ✅ * **توضیح:** این عبارت، تعریف صحیح یکنوایی تانژانت است. تانژانت در هر بازه باز و پیوسته که شامل مجانب نباشد، **اکیداً صعودی** است (و هر تابع اکیداً صعودی، صعودی نیز هست). * **مثال:** در بازه باز $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$، تابع $\tan x$ اکیداً صعودی است. این قضیه در هر بازه پیوسته دیگری که مجانب را قطع نکند نیز برقرار است. --- | جمله | وضعیت | |:---:|:---:| | الف) تابع تانژانت در دامنه‌اش صعودی است. | **نادرست** | | ب) می‌توان بازه‌ای یافت که تابع تانژانت در آن نزولی باشد. | **نادرست** | | پ) تابع تانژانت در هر بازه‌ای که در آن تعریف شده باشد، صعودی است. | **درست** |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 6 صفحه 33 حسابان دوازدهم برای مقایسه $\sin \alpha$ و $\tan \alpha$ از تعریف هندسی آن‌ها در دایره مثلثاتی استفاده می‌کنیم. * **$\sin \alpha$:** طول پاره‌خط عمودی از نقطه $P$ روی دایره تا محور $x$ است. * **$\tan \alpha$:** طول پاره‌خط عمودی از محور $x$ تا نقطه تقاطع شعاع $\alpha$ با خط مماس $x=1$ است. --- ### الف) مقایسه در ربع اول: $0^\circ < \alpha < \frac{\pi}{2}$ 1. **بررسی هندسی:** در ربع اول، هر دو مقدار $\sin \alpha$ و $\tan \alpha$ **مثبت** هستند. اگر دایره مثلثاتی را در نظر بگیرید، چون خط تانژانت عمود بر محور $x$ در $(1, 0)$ است و مقدار $\sin \alpha$ حداکثر 1 است، همیشه ارتفاع تانژانت بزرگتر از ارتفاع سینوس خواهد بود (مگر در $\alpha = 0$ که برابرند). 2. **بررسی تحلیلی:** می‌دانیم که $0 < \cos \alpha < 1$ است. اگر طرفین نامساوی $\sin \alpha < 1$ را بر $\cos \alpha$ تقسیم کنیم (چون $\cos \alpha$ مثبت است، جهت نامساوی حفظ می‌شود): $$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} > \sin \alpha \quad \text{(زیرا } \cos \alpha < 1 \text{)}$$ $$\tan \alpha > \sin \alpha$$ * **مقایسه نهایی:** $$\mathbf{\sin \alpha < \tan \alpha}$$ --- ### ب) مقایسه در ربع چهارم: $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ 1. **بررسی هندسی:** در ربع چهارم، هر دو مقدار $\sin \alpha$ و $\tan \alpha$ **منفی** هستند. * $\sin \alpha$ بین $-1$ و $0$ است. * $\tan \alpha$ بین $-\infty$ و $0$ است. * در این ربع، مثلث قائم‌الزاویه‌ای که برای تانژانت ایجاد می‌شود، بزرگتر از مثلث سینوس است و چون هر دو منفی هستند، **قدر مطلق تانژانت بزرگتر** است. 2. **بررسی تحلیلی:** * $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. در این ربع، $\cos \alpha > 0$. * چون $0 < \cos \alpha < 1$ است، پس تقسیم $\sin \alpha$ بر $\cos \alpha$ باعث می‌شود که مقدار منفی $\tan \alpha$ بیشتر در منفی شدن پیش رود (به صفر نزدیک‌تر شود، اما قدر مطلقش بزرگتر شود). * $\tan \alpha$ همیشه **کوچکتر** از $\sin \alpha$ است (زیرا عدد منفی بزرگتر، به صفر نزدیک‌تر است). * مثال: $\sin \alpha = -0.5$ و $\cos \alpha = 0.866$ $\implies \tan \alpha \approx -0.577$. * $$-0.577 < -0.5$$ * پس $\tan \alpha < \sin \alpha$. * **مقایسه نهایی:** $$\mathbf{\tan \alpha < \sin \alpha}$$