جواب کاردرکلاس صفحه 32 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 32 حسابان دوازدهم سلام به شما دانش‌آموزان عزیز! این سوال در مورد بررسی **یکنوایی** تابع تانژانت در یک دور تناوب کامل آن (از $0$ تا $2\pi$) است. نکته کلیدی، وجود **مجانب‌های عمودی** و تأثیر آن‌ها بر یکنوا بودن تابع است. --- ### 💡 یادآوری تانژانت ما می‌دانیم که تابع $y = \tan x$ دارای **مجانب‌های عمودی** در نقاطی است که $\cos x = 0$ می‌شود، یعنی $\frac{\pi}{2}$ و $\frac{3\pi}{2}$ (و به طور کلی $\frac{\pi}{2} + k\pi$). به همین دلیل این نقاط از دامنه مورد بررسی حذف شده‌اند. ### بررسی یکنوایی در بازه‌های مختلف همانطور که در فعالیت‌های قبلی دیدیم، تابع تانژانت در هر ربع (به جز نقاط تعریف نشده) **همواره افزایشی (اکیداً صعودی)** است. ما مجموعه داده شده را به سه بازه تقسیم می‌کنیم: #### 1. بازه اول: $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ (ربع اول) * با افزایش $x$ از 0 به $\frac{\pi}{2}$، مقدار $\tan x$ از $0$ به $+\infty$ افزایش می‌یابد. * **نتیجه:** در این بازه، تابع **اکیداً صعودی** است. #### 2. بازه دوم: $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$ (ربع دوم و سوم) * **ربع دوم $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$:** مقدار $\tan x$ از $-\infty$ به $0$ افزایش می‌یابد. * **ربع سوم $\left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$:** مقدار $\tan x$ از $0$ به $+\infty$ افزایش می‌یابد. * **نتیجه:** در هر دو ربع، تابع **اکیداً صعودی** است. #### 3. بازه سوم: $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$ (ربع چهارم) * با افزایش $x$ از $\frac{3\pi}{2}$ به $2\pi$，مقدار $\tan x$ از $-\infty$ به $0$ افزایش می‌یابد. * **نتیجه:** در این بازه، تابع **اکیداً صعودی** است. ### نتیجه‌گیری کلی با اینکه تابع $\tan x$ در هر یک از بازه‌هایی که در آن تعریف شده، **اکیداً صعودی** است، اما در کل مجموعه $\left[0, 2\pi\right] - \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right\}$ **اکیداً صعودی نیست.** **چرا؟** برای اینکه یک تابع در کل مجموعه $A$ اکیداً صعودی باشد، باید به ازای هر دو نقطه $x_1, x_2 \in A$ که $x_1 < x_2$، داشته باشیم $f(x_1) < f(x_2)$. * **نقض یکنوایی در کل مجموعه:** یک نقطه از ربع اول (مثلاً $x_1 = \frac{\pi}{4}$) و یک نقطه از ربع دوم (مثلاً $x_2 = \frac{3\pi}{4}$) را در نظر بگیرید. $$\frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} \implies x_1 < x_2$$ $$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$$$$\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$$ $$f(x_1) = 1 \text{ و } f(x_2) = -1 \implies f(x_1) > f(x_2)$$ چون $f(x_1) \not< f(x_2)$، تابع در کل این مجموعه **اکیداً صعودی نیست** و به همین ترتیب **نزولی هم نیست**. **پاسخ نهایی:** * تابع $y = \tan x$ در هر یک از بازه‌های **$\left,0, \frac{\pi}{2}\right)$ $\left,$$**، **اکیداً صعودی** است. * تابع در کل مجموعه $\left[0, 2\pi\right] - \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right\}$ **نه صعودی و نه نزولی** است (به دلیل وجود مجانب‌ها و پرش ناگهانی مقادیر از $+\infty$ به $-\infty$).