پاسخ فعالیت صفحه 25 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 1 صفحه 24 حسابان دوازدهم سلام! این فعالیت بر روی مفهوم **دامنه (Amplitude)** در توابع مثلثاتی تمرکز دارد. دامنه، یعنی **ارتفاع موج**، توسط ضریب $a$ در تابع $y = a\sin x$ تعیین می‌شود. --- ### تکمیل جدول با بررسی نمودارها دوره تناوب در تمامی این توابع تغییری نمی‌کند، زیرا ضریب $x$ در داخل تابع سینوس، همچنان **1** است (تأثیر ضریب $a$ فقط بر ارتفاع موج است). | تابع | نمودار تابع | ماکزیمم (Max) | مینیمم (Min) | دوره تناوب (T) | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $y = \sin x$ ($a=1$) | | 1 | -1 | $2\pi$ | | $y = 2\sin x$ ($a=2$) | | 2 | -2 | $2\pi$ | | $y = -\sin x$ ($a=-1$) | | 1 | -1 | $2\pi$ | | $y = \frac{1}{2}\sin x$ ($a=\frac{1}{2}$) | | $\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $2\pi$ | | $y = -\frac{1}{2}\sin x$ ($a=-\frac{1}{2}$) | | $\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $2\pi$ | --- ### تحلیل نتایج 1. **دوره تناوب:** همانطور که مشاهده می‌کنید، ضرب کردن تابع سینوس در عدد $a$، هیچ تغییری در **دوره تناوب** ایجاد نمی‌کند و دوره تناوب همچنان **$2\pi$** باقی می‌ماند. 2. **مقادیر ماکزیمم و مینیمم:** * **ماکزیمم:** حداکثر ارتفاع موج، برابر با **$|a|$** است. * **مینیمم:** حداقل ارتفاع موج، برابر با **$-|a|$** است. 3. **تأثیر علامت $a$:** علامت $a$ (مثلاً در $y = -\sin x$) فقط باعث **قرینه‌یابی** (Reflection) نمودار نسبت به محور $x$ می‌شود، اما مقادیر ماکزیمم و مینیمم (یعنی دامنه) را تغییر نمی‌دهد. به عنوان مثال، در $y = -\sin x$: $\text{ماکزیمم} = 1$ و $\text{مینیمم} = -1$ (همانند $y = \sin x$).

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 2 صفحه 24 حسابان دوازدهم بر اساس تحلیل انجام شده در بخش قبلی، تأثیر ضریب $a$ بر پارامترهای اصلی تابع سینوس به سادگی قابل استنتاج است. این ضریب در واقع همان **دامنه (Amplitude)** تابع را مشخص می‌کند. --- ### 🌊 پارامترهای تابع $y = a\sin x$ 1. **دوره تناوب ($T$):** * ضریب $a$ در خارج از تابع $\sin x$ قرار دارد و نشان‌دهنده یک **انبساط یا انقباض عمودی** است. انبساط/انقباض عمودی بر دوره تناوب (که یک ویژگی افقی است) تأثیری ندارد. * دوره تناوب تابع $y = a\sin x$ همانند $y = \sin x$، برابر با **$2\pi$** است. * $$T = 2\pi$$ 2. **مقدار ماکزیمم (Maximum):** * مقدار $\sin x$ بین $-1$ و $1$ است: $$-1 \leq \sin x \leq 1$$ * با ضرب نامساوی در $|a|$ (مقدار مطلق $a$): $$-|a| \leq a\sin x \leq |a|$$ * بنابراین، حداکثر مقدار تابع $y = a\sin x$، برابر با **$|a|$** است. * $$y_{\max} = |a|$$ 3. **مقدار مینیمم (Minimum):** * حداقل مقدار تابع $y = a\sin x$، برابر با **$-|a|$** است. * $$y_{\min} = -|a|$$ | پارامتر | تابع $y = a\sin x$ | |:---:|:---:| | دوره تناوب ($T$) | $2\pi$ | | مقدار ماکزیمم ($y_{\max}$) | $|a|$ | | مقدار مینیمم ($y_{\min}$) | $-|a|$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 3 صفحه 24 حسابان دوازدهم این قسمت به بررسی تأثیر **انتقال عمودی** (ضریب $c$) بر پارامترهای توابع مثلثاتی می‌پردازد. انتقال عمودی به سادگی نمودار را در راستای محور $y$ جابجا می‌کند. --- ### 🚀 پارامترهای تابع $y = a\sin x + c$ تابع $y = a\sin x + c$ همان تابع $y = a\sin x$ است که **$c$ واحد در راستای عمودی منتقل شده است.** 1. **دوره تناوب ($T$):** * افزودن $c$ به کل تابع (انتقال عمودی) بر دوره تناوب تأثیری ندارد. * دوره تناوب همچنان: $$T = 2\pi$$ 2. **مقدار ماکزیمم (Maximum):** * مقدار ماکزیمم $y = a\sin x$ برابر $|a|$ بود. با انتقال $c$ واحد به بالا، ماکزیمم جدید به اندازه $c$ افزایش می‌یابد. * $$y_{\max} = |a| + c$$ 3. **مقدار مینیمم (Minimum):** * مقدار مینیمم $y = a\sin x$ برابر $-|a|$ بود. با انتقال $c$ واحد به بالا، مینیمم جدید نیز به اندازه $c$ افزایش می‌یابد. * $$y_{\min} = -|a| + c$$ ### 📝 تعمیم به توابع کسینوس همانطور که در سوال نیز اشاره شده، تبدیلات عمودی و دامنه در توابع کسینوس نیز دقیقاً مشابه توابع سینوس عمل می‌کند، چرا که نمودار کسینوس فقط یک انتقال افقی از سینوس است و از نظر شکل موج تفاوتی ندارد. * **تابع $y = a\cos x$:** * $\text{دوره تناوب}: T = 2\pi$ * $\text{ماکزیمم}: y_{\max} = |a|$ * $\text{مینیمم}: y_{\min} = -|a|$ * **تابع $y = a\cos x + c$:** * $\text{دوره تناوب}: T = 2\pi$ * $\text{ماکزیمم}: y_{\max} = |a| + c$ * $\text{مینیمم}: y_{\min} = -|a| + c$