پاسخ فعالیت صفحه 22 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۲۲ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این فعالیت برای درک رابطهٔ بین احتمال یک پیشامد ($\\mathbf{P}(\mathbf{A})$) و احتمال **متمم** آن ($\\mathbf{P}(\mathbf{A}')$) طراحی شده است. **داده‌های مسئله:** * تعداد مدادها: $\mathbf{3}$ * تعداد خودکارها: $\mathbf{5}$ * **فضای نمونه (S):** $\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 3 + 5 = 8$ شیء. --- ### الف) احتمال انتخاب مداد ($athbf{P}(\mathbf{A})$) * **پیشامد $\mathbf{A}$:** انتخاب مداد. $\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 3$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{\mathbf{n}(\mathbf{A})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})} = \mathbf{\frac{3}{8}}$$ --- ### ب) احتمال انتخاب خودکار ($athbf{P}(\mathbf{B})$) * **پیشامد $\mathbf{B}$:** انتخاب خودکار. $\mathbf{n}(\mathbf{B}) = 5$ $$\mathbf{P}(\mathbf{B}) = \frac{\mathbf{n}(\mathbf{B})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})} = \mathbf{\frac{5}{8}}$$ --- ### پ) احتمال انتخاب $athbf{مداد}$ نباشد ($athbf{P}(\mathbf{A}')$) * **پیشامد $\mathbf{A}'$:** انتخاب مداد نباشد. چون تنها دو نوع شیء وجود دارد، مداد نبودن یعنی **خودکار بودن**. * $\mathbf{n}(\mathbf{A}') = 5$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A}') = \frac{5}{8}$$ --- ### ت) مقایسه پاسخ‌های $athbf{P}(\mathbf{B})$ و $athbf{P}(\mathbf{A}')$ و نتیجه‌گیری * $\mathbf{P}(\mathbf{B}) = \frac{5}{8}$ * $\mathbf{P}(\mathbf{A}') = \frac{5}{8}$ **نتیجه‌گیری:** $$\mathbf{\mathbf{P}(\mathbf{B}) = \mathbf{P}(\mathbf{A}')}$$ از آنجایی که در فضای نمونهٔ ما، تنها دو حالت کلی **مداد** یا **خودکار** وجود دارد، پیشامد $athbf{A}'$ (مداد نبودن) دقیقاً همان پیشامد $athbf{B}$ (خودکار بودن) است. بنابراین، احتمال وقوع این دو پیشامد باید با هم برابر باشد. --- ### ث) حاصل $athbf{P}(\mathbf{A}') + athbf{P}(athbf{A})$ را پیدا کنید $$\mathbf{P}(\mathbf{A}') + \mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} = \mathbf{1}$$ **نتیجه‌گیری نهایی (اصل متمم):** حاصل جمع احتمال هر پیشامد با احتمال **متمم** آن، همواره برابر با **یک** است. این رابطهٔ بسیار مهم به ما اجازه می‌دهد که احتمال یک پیشامد پیچیده را از طریق احتمال متمم ساده‌تر آن محاسبه کنیم: $$\mathbf{\mathbf{P}(\mathbf{A}') + \mathbf{P}(\mathbf{A}) = 1 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{P}(\mathbf{A}') = 1 - \mathbf{P}(\mathbf{A})}$$