جواب کاردرکلاس صفحه 15 ریاضی دوازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی سلام! این تمرین بر روی مفهوم **پیشامد (Event)** تمرکز دارد. پیشامد، **هر زیرمجموعه‌ای** از فضای نمونه ($\\text{S}$) است. اگر $\\text{S}$، مجموعهٔ تمام نتایج ممکن باشد، پیشامدها نتایج مورد علاقهٔ ما هستند. **فضای نمونه (S):** $\mathbf{\text{S} = \left\{ \text{ر}, \text{پ} \right\}}$ (رو یا پشت) **تمام پیشامدهای ممکن (زیرمجموعه‌های S):** 1. **پیشامد غیرممکن:** مجموعه‌ای که هیچ عضوی ندارد. ($\mathbf{\emptyset}$) 2. **پیشامد ساده (تک عضوی):** * آمدن رو: $\mathbf{\left\{ \text{ر} \right\}}$ * آمدن پشت: $\mathbf{\left\{ \text{پ} \right\}}$ 3. **پیشامد حتمی (فضای نمونه):** مجموعه‌ای که شامل تمام اعضا است. * آمدن رو یا پشت: $\mathbf{\left\{ \text{ر}, \text{پ} \right\}}$ **نتیجه:** تعداد کل پیشامدهای ممکن برای یک فضای نمونه $n$ عضوی، $\mathbf{2^{\text{n}}}$ است. در اینجا $\mathbf{2^2 = 4}$ پیشامد داریم.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین شامل دو آزمایش تصادفی است: ۱. **انتخاب یک نفر برای مطالعه** (فضای نمونه) و ۲. **انتخاب دو نفر برای ارائه خلاصه** (پیشامد). **نام افراد:** مریم ($athbf{M}$)، ملیکا ($athbf{L}$)، سوگند ($athbf{S}$) ### ۱. فضای نمونه ($S$) (انتخاب یک نفر برای مطالعه) فضای نمونه، تمام افرادی است که ممکن است کارت آن‌ها خارج شود: $$\mathbf{S} = \left\{ \mathbf{M}, \mathbf{L}, \mathbf{S} \right\}$$ ### ۲. زیرمجموعه‌های یک عضوی $athbf{S}$ (پیشامدهای ساده) این‌ها پیشامدهایی هستند که فقط یک نتیجهٔ خاص رخ می‌دهد (مثلاً فقط مریم کتاب را می‌برد): $$\mathbf{\left\{ \text{M} \right\}, \left\{ \text{L} \right\}, \left\{ \text{S} \right\}}$$ ### ۳. پیشامدهای ممکن برای ارائه خلاصه (انتخاب دو نفر) اگر قرار باشد دو نفر برای ارائه خلاصه انتخاب شوند، ترتیب انتخاب آن‌ها مهم نیست (چون هر دو با هم ارائه می‌دهند)، پس از **ترکیب** استفاده می‌کنیم. پیشامد $athbf{A}$ انتخاب دو نفر از سه نفر است: * $\mathbf{\text{A}} = \left\{ \text{M} \text{ و } \text{L}, \text{M} \text{ و } \text{S}, \text{L} \text{ و } \text{S} \right\}$ * یا با نماد مجموعه‌: $$\mathbf{\text{A} = \left\{ \left\{ \text{M}, \text{L} \right\}, \left\{ \text{M}, \text{S} \right\}, \left\{ \text{L}, \text{S} \right\} \right\}}$$ * **تعداد پیشامدها:** $\mathbf{3}$ ($\\mathbf{\binom{3}{2} = 3}$) است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۳ صفحه ۱۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین مربوط به **وقوع پیشامد** است. یک پیشامد زمانی رخ می‌دهد که **حداقل یکی از نتایج** (برآمدهای) موجود در آن پیشامد، در آزمایش تصادفی ما به وقوع بپیوندد. **آزمایش:** پرتاب تاس. **نتیجهٔ آزمایش (برآمد):** آمدن عدد $\mathbf{2}$. --- ### الف) پیشامد $athbf{A = eft 3, 2, 5 ight}$ * **وضعیت:** عدد $\mathbf{2}$ (برآمد آزمایش) **عضو** پیشامد $\mathbf{A}$ است. * **نتیجه:** پیشامد $\mathbf{A}$ **رخ داده است.** --- ### ب) پیشامد $athbf{B = eft 2 ight}$ * **وضعیت:** عدد $\mathbf{2}$ (برآمد آزمایش) **عضو** پیشامد $\mathbf{B}$ است. * **نتیجه:** پیشامد $\mathbf{B}$ **رخ داده است.** --- ### پ) پیشامد $athbf{C = eft 2, 4, 6 ight}$ (آمدن عدد زوج) * **وضعیت:** عدد $\mathbf{2}$ (برآمد آزمایش) **عضو** پیشامد $\mathbf{C}$ است. * **نتیجه:** پیشامد $\mathbf{C}$ **رخ داده است.** **نتیجه‌گیری:** هر سه پیشامد $athbf{A}$، $athbf{B}$ و $athbf{C}$ رخ داده‌اند، زیرا برآمد $athbf{2}$ در هر سه مجموعهٔ پیشامد قرار دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۴ صفحه ۱۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی **فضای نمونه ($athbf{S}$):** پرتاب دو تاس ۳۶ برآمد ممکن دارد: $\mathbf{|\text{S}| = 36}$. ### الف) اعداد رو شده از دو تاس هم باشند (پیشامد $A$) این پیشامد شامل حالت‌هایی است که تاس اول و دوم، هر دو عدد یکسانی را نشان دهند: $$\mathbf{\text{A} = \left\{ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) \right\}}$$ * **تعداد اعضا:** $\mathbf{n}(\text{A}) = 6$ --- ### ب) مجموع اعداد برآمده از دو تاس برابر با ۷ باشد (پیشامد $B$) این پیشامد شامل زوج مرتب‌هایی است که مجموع مؤلفه‌های آن‌ها ۷ است: $$\mathbf{\text{B} = \left\{ (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) \right\}}$$ * **تعداد اعضا:** $\mathbf{n}(\text{B}) = 6$ --- ### پ) مجموع اعداد برآمده از دو تاس ۱۳ باشد (پیشامد $C$) بیشترین مجموعی که از دو تاس می‌تواند به دست آید، $6 + 6 = 12$ است. $$\mathbf{\text{C} = \left\{ \right\} = \emptyset}$$ * **نوع پیشامد:** **پیشامد غیرممکن** * **تعداد اعضا:** $\mathbf{n}(\text{C}) = 0$ --- ### ت) حاصل ضرب اعداد برآمده از دو تاس کمتر از ۳۷ باشد (پیشامد $D$) بیشترین حاصل ضربی که از دو تاس می‌تواند به دست آید، $6 \times 6 = 36$ است. * **وضعیت:** چون $athbf{36 < 37}$، هر نتیجه‌ای که در این آزمایش رخ دهد، حاصل ضرب آن کمتر از ۳۷ خواهد بود. $$\mathbf{\text{D} = \text{S}}$$ * **نوع پیشامد:** **پیشامد حتمی** (فضای نمونه) * **تعداد اعضا:** $\mathbf{n}(\text{D}) = 36$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۱۶ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله یک کاربرد کلاسیک از **ترکیب شرطی** است. ابتدا داده‌ها را مشخص می‌کنیم: * **دهم ($athbf{D}$):** $athbf{5}$ نفر * **یازدهم ($athbf{Y}$):** $athbf{6}$ نفر * **دوازدهم ($athbf{Z}$):** $athbf{4}$ نفر * **تعداد کل ($athbf{n}$):** $5 + 6 + 4 = athbf{15}$ نفر * **تعداد گروه انتخابی ($athbf{r}$):** $athbf{3}$ نفر ### الف) سه نفر از سه پایه مختلف باشند (پیشامد $A$) باید $athbf{1}$ نفر از دهم **و** $athbf{1}$ نفر از یازدهم **و** $athbf{1}$ نفر از دوازدهم انتخاب شوند. (از **اصل ضرب** استفاده می‌کنیم.) $$\text{n}(\text{A}) = \binom{5}{1} \times \binom{6}{1} \times \binom{4}{1}$$ $$\text{n}(\text{A}) = 5 \times 6 \times 4 = \mathbf{120}$$ --- ### ب) حداقل ۲ دانش‌آموز در این گروه پیشتاز از دانش‌آموزان سال یازدهم باشند (پیشامد $B$) حداقل $athbf{2}$ نفر از $athbf{Y}$ به این معنی است که تعداد $athbf{Y}$ می‌تواند $athbf{2}$ یا $athbf{3}$ نفر باشد. (از **اصل جمع** استفاده می‌کنیم.) * **حالت ۱: $athbf{2}$ نفر از $athbf{Y}$ و $athbf{1}$ نفر از پایه‌های دیگر ($athbf{D}$ یا $athbf{Z}$):** * $athbf{2}$ از $athbf{Y}$: $inom{6}{2} = 15$ * $athbf{1}$ از $athbf{D} + \mathbf{Z}$ ($athbf{5 + 4 = 9}$ نفر): $inom{9}{1} = 9$ * **تعداد حالت ۱:** $inom{6}{2} \times inom{9}{1} = 15 \times 9 = 135$ * **حالت ۲: $athbf{3}$ نفر از $athbf{Y}$ و $athbf{0}$ نفر از پایه‌های دیگر:** * $athbf{3}$ از $athbf{Y}$: $inom{6}{3} = 20$ * $athbf{0}$ از $athbf{D} + \mathbf{Z}$: $inom{9}{0} = 1$ * **تعداد حالت ۲:** $inom{6}{3} \times inom{9}{0} = 20 \times 1 = 20$ $$\text{n}(\text{B}) = 135 + 20 = \mathbf{155}$$