جواب کاردرکلاس صفحه 14 ریاضی دوازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۴ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی هدف این تمرین آشنایی با **فضای نمونه (Sample Space)** در آزمایش‌های ترکیبی (پرتاب چند شیء) و استفاده از **اصل ضرب** برای تأیید نتایج است. ### ۱. تکمیل جدول (فضای نمونه $S$) فضای نمونه $S$ مجموعه‌ای از تمام زوج مرتب‌های $(\text{آبی}, \text{قرمز})$ است که تاس آبی می‌تواند اعداد ۱ تا ۶ و تاس قرمز می‌تواند اعداد ۱ تا ۶ را نشان دهد: | $\text{آبی} \downarrow \text{قرمز} \to$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{5}$ | $\mathbf{6}$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{(1, 1)}$ | $\mathbf{(1, 2)}$ | $\mathbf{(1, 3)}$ | $\mathbf{(1, 4)}$ | $\mathbf{(1, 5)}$ | $\mathbf{(1, 6)}$ | | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{(2, 1)}$ | $\mathbf{(2, 2)}$ | $\mathbf{(2, 3)}$ | $\mathbf{(2, 4)}$ | $\mathbf{(2, 5)}$ | $\mathbf{(2, 6)}$ | | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{(3, 1)}$ | $\mathbf{(3, 2)}$ | $\mathbf{(3, 3)}$ | $\mathbf{(3, 4)}$ | $\mathbf{(3, 5)}$ | $\mathbf{(3, 6)}$ | | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{(4, 1)}$ | $\mathbf{(4, 2)}$ | $\mathbf{(4, 3)}$ | $\mathbf{(4, 4)}$ | $\mathbf{(4, 5)}$ | $\mathbf{(4, 6)}$ | | $\mathbf{5}$ | $\mathbf{(5, 1)}$ | $\mathbf{(5, 2)}$ | $\mathbf{(5, 3)}$ | $\mathbf{(5, 4)}$ | $\mathbf{(5, 5)}$ | $\mathbf{(5, 6)}$ | | $\mathbf{6}$ | $\mathbf{(6, 1)}$ | $\mathbf{(6, 2)}$ | $\mathbf{(6, 3)}$ | $\mathbf{(6, 4)}$ | $\mathbf{(6, 5)}$ | $\mathbf{(6, 6)}$ | ### ۲. بررسی درستی تعداد کل حالات با اصل ضرب * **تعداد حالت‌های تاس آبی:** $athbf{n}_1 = 6$ (اعداد $1$ تا $6$) * **تعداد حالت‌های تاس قرمز:** $athbf{n}_2 = 6$ (اعداد $1$ تا $6$) چون پرتاب دو تاس دو عمل **متوالی و مستقل** هستند، تعداد کل حالات از **اصل ضرب** به دست می‌آید: $$\mathbf{|\text{S}| = \text{n}_1 \times \text{n}_2 = 6 \times 6 = 36}$$ **نتیجه:** تعداد کل برآمدهای ممکن در جدول بالا $athbf{36}$ خانه است که با نتیجهٔ حاصل از اصل ضرب **تطابق دارد**.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۴ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این آزمایش مربوط به **ترتیب** نشستن $\mathbf{3}$ نفر در $\mathbf{3}$ صندلی است که یک مسئلهٔ **جایگشت** است. ### ۱. فضای نمونه ($S$) فضای نمونه شامل تمام ترتیب‌های ممکن است که این سه نفر می‌توانند بنشینند. با استفاده از حروف اول نام‌ها ($athbf{A}, \mathbf{P}, \mathbf{M}$): $$\mathbf{S} = \left\{ \text{APM}, \text{AMP}, \text{PAM}, \text{PMA}, \text{MAP}, \text{MPA} \right\}$$ ### ۲. تعداد برآمدها بدون شمردن برای تعیین تعداد برآمدها، از مفهوم **جایگشت $\mathbf{n}$ شیء متمایز** استفاده می‌کنیم که برابر با $\mathbf{\text{n}!}$ است: * **تعداد افراد ($athbf{n}$):** $athbf{3}$ نفر * **تعداد جایگاه:** $athbf{3}$ جایگاه $$\text{تعداد برآمدها} = 3! = 3 \times 2 \times 1 = \mathbf{6}$$ **توضیح:** این محاسبه بر اساس **اصل ضرب** انجام می‌شود؛ برای صندلی اول ۳ انتخاب، برای صندلی دوم ۲ انتخاب و برای صندلی سوم ۱ انتخاب باقی می‌ماند، که حاصل ضرب آن‌ها ۶ می‌شود. --- ## ۳. تعداد اعضای فضای نمونه خروج سه مهره از کیسه ### ۳. در کیسه‌ای $\mathbf{3}$ مهره قرمز، $\mathbf{4}$ مهره آبی و $\mathbf{3}$ مهره سبز وجود دارد. به طور تصادفی سه مهره را همزمان از کیسه خارج می‌کنیم. تعداد اعضای فضای نمونهٔ این پدیدهٔ تصادفی را مشخص کنید. این آزمایش مربوط به **انتخاب همزمان** $\mathbf{3}$ مهره از بین کل مهره‌ها است. چون مهره‌ها همزمان خارج می‌شوند، **ترتیب خروج** آن‌ها مهم نیست، پس از **ترکیب (Combination)** استفاده می‌کنیم. * **تعداد کل مهره‌ها ($athbf{n}$):** $\mathbf{3} + \mathbf{4} + \mathbf{3} = \mathbf{10}$ مهره * **تعداد مهره‌های انتخابی ($athbf{r}$):** $athbf{3}$ مهره تعداد کل اعضای فضای نمونه ($athbf{|\text{S}|}$) برابر با تعداد ترکیب‌های $athbf{3}$ تایی از $athbf{10}$ مهره است: $$\mathbf{|\text{S}|} = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3! (10 - 3)!} = \frac{10!}{3! 7!}$$ $$\mathbf{|\text{S}|} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = \mathbf{120}$$ **نتیجه:** تعداد اعضای فضای نمونه، یعنی تعداد کل حالت‌های ممکن برای انتخاب $athbf{3}$ مهره، برابر با $athbf{120}$ است.