ادامه حل تمرین صفحه 10 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۱۰ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله یک تمرین عالی در زمینهٔ **ترکیب شرطی** است که از **اصل ضرب** برای ترکیب زیرمجموعه‌های ناسازگار استفاده می‌کند. * **یازدهم ($athbf{Y}$):** $athbf{5}$ نفر * **دوازدهم ($athbf{D}$):** $athbf{6}$ نفر * **تعداد کل تیم:** $athbf{6}$ نفر --- ### الف) به تعداد مساوی یازدهم و دوازدهم در تیم حضور داشته باشند تیم ۶ نفره، پس باید $athbf{3}$ نفر از یازدهم و $athbf{3}$ نفر از دوازدهم انتخاب شوند. (اصل ضرب) $$\text{تعداد راه‌ها} = (\text{انتخاب } 3 \text{ از } 5 \text{ یازدهم}) \times (\text{انتخاب } 3 \text{ از } 6 \text{ دوازدهم})$$ $$\binom{5}{3} \times \binom{6}{3} = \left( \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \right) \times \left( \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \right) = 10 \times 20 = \mathbf{200}$$ --- ### ب) کاپیتان تیم فرد مشخصی از پایه دوازدهم باشد 1. **انتخاب کاپیتان:** $athbf{1}$ راه (فرد مشخصی از $athbf{D}$) 2. **انتخاب $athbf{5}$ عضو باقیمانده:** باید $athbf{5}$ نفر دیگر از $athbf{10}$ نفر باقیمانده ($\mathbf{5}$ نفر از $\mathbf{Y}$ و $\mathbf{5}$ نفر از $\mathbf{D}$) انتخاب شوند. (ترتیب در انتخاب مهم نیست.) $$\text{تعداد راه‌ها} = 1 \times \binom{10}{5} = 1 \times \frac{10!}{5! 5!} = \mathbf{252}$$ --- ### پ) حداقل $athbf{2}$ نفر از اعضای تیم، دانش‌آموز دوازدهم باشند حداقل $athbf{2}$ نفر از $athbf{D}$ به این معنی است که تعداد $athbf{D}$ می‌تواند $athbf{2, 3, 4, 5, 6}$ باشد. (اصل جمع) | تعداد $athbf{D}$ | تعداد $athbf{Y}$ | تعداد راه‌ها ($athbf{\binom{6}{athbf{D}} \times \binom{5}{athbf{Y}}}$) | |:---:|:---:|:---:| | $athbf{2}$ | $4$ | $\binom{6}{2} \times \binom{5}{4} = 15 \times 5 = 75$ | | $athbf{3}$ | $3$ | $\binom{6}{3} \times \binom{5}{3} = 20 \times 10 = 200$ | | $athbf{4}$ | $2$ | $\binom{6}{4} \times \binom{5}{2} = 15 \times 10 = 150$ | | $athbf{5}$ | $1$ | $\binom{6}{5} \times \binom{5}{1} = 6 \times 5 = 30$ | | $athbf{6}$ | $0$ | $\binom{6}{6} \times \binom{5}{0} = 1 \times 1 = 1$ | $$\text{تعداد کل راه‌ها} = 75 + 200 + 150 + 30 + 1 = \mathbf{456}$$ --- ### ت) فقط $athbf{2}$ نفر از اعضای تیم از پایه یازدهم باشند فقط $athbf{2}$ نفر از $athbf{Y}$، یعنی باید $athbf{4}$ نفر باقیمانده از $athbf{D}$ باشند. (اصل ضرب) $$\text{تعداد راه‌ها} = (\text{انتخاب } 2 \text{ از } 5 \text{ یازدهم}) \times (\text{انتخاب } 4 \text{ از } 6 \text{ دوازدهم})$$ $$\binom{5}{2} \times \binom{6}{4} = 10 \times 15 = \mathbf{150}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۱۰ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این یک مسئلهٔ **مهندسی معکوس** در شمارش است که باید از **اصل جمع** و **اصل ضرب** برای یافتن تعداد مسیرهای مجهول استفاده کنیم. **راه‌های معلوم:** * $\text{C} \leftrightarrow \text{D}$: $athbf{3}$ راه * $\text{D} \leftrightarrow \text{E}$: $athbf{4}$ راه * $\text{E} \leftrightarrow \text{C}$: $athbf{1}$ راه (خط چین در نمودار، راه را نشان می‌دهد که می‌توان یک راه در نظر گرفت.) * $\text{A} \leftrightarrow \text{B}$: $athbf{2}$ راه * $\text{B} \leftrightarrow \text{C}$: $athbf{1}$ راه (خط چین) * **مجهول:** $athbf{r}$ (راه $\text{A} \leftrightarrow \text{E}$) **مسیر مورد نظر:** از $\mathbf{D}$ به $\mathbf{B}$ ($athbf{20}$ راه) **مسیرهای ممکن از $athbf{D}$ به $athbf{B}$:** 1. **مسیر $athbf{\text{D} \to \text{C} \to \text{B}}$:** $athbf{3} \times \mathbf{1} = 3$ راه 2. **مسیر $athbf{\text{D} \to \text{E} \to \text{A} \to \text{B}}$:** $athbf{4} \times \mathbf{r} \times \mathbf{2} = 8\text{r}$ راه 3. **مسیر $athbf{\text{D} \to \text{E} \to \text{C} \to \text{B}}$:** $athbf{4} \times \mathbf{1} \times \mathbf{1} = 4$ راه **تعداد کل راه‌ها (اصل جمع):** $$\text{Total Ways} = (\text{مسیر } 1) + (\text{مسیر } 2) + (\text{مسیر } 3)$$ $$20 = 3 + 8\text{r} + 4$$ $$20 = 7 + 8\text{r}$$ $$8\text{r} = 20 - 7$$ $$8\text{r} = 13$$ $$\text{r} = \frac{13}{8} = 1.625$$ چون تعداد جاده‌ها باید **عدد صحیح** باشد، این جواب دقیق نیست. با فرض اینکه خط چین $\mathbf{A} \leftrightarrow \text{E}$ به جای $\text{r}$ راه، $athbf{1}$ راه باشد و ما باید تعداد راه‌های دیگر را مجهول در نظر می‌گرفتیم، اما بر اساس مجهول $\mathbf{r}$ در شکل: **تعریف تعداد راه‌ها:** $$\text{تعداد راه‌ها از } \mathbf{E} \text{ به } \mathbf{A} \text{ باید } \mathbf{r} \text{ باشد}$$ **اصلاح مسئله بر اساس اعداد صحیح (فرض جدید):** اگر فرض کنیم $r=1$ باشد، تعداد کل راه‌ها $3 + 8(1) + 4 = 15$ می‌شود. برای رسیدن به $20$ راه، باید ۵ راه به دست آوریم. * **فرض کنید $athbf{E} \leftrightarrow \mathbf{A}$ برابر با $athbf{r}$ راه و $athbf{A} \leftrightarrow \mathbf{B}$ برابر با $athbf{s}$ راه باشد (در شکل $s=2$ است):** * مسیر $athbf{D} \to \mathbf{E} \to \mathbf{A} \to \mathbf{B}$: $athbf{4} \times \mathbf{r} \times \mathbf{s} = 8\text{r}$ **تنها حالت منطقی که $athbf{r}$ را مجهول فرض کرده است، این است که $r$ باید یک عدد صحیح باشد. بنابراین، برای رسیدن به ۲.۵ جاده (بدون گرد کردن)، نمی‌توانیم این مسئله را با اعداد صحیح حل کنیم.** **پاسخ محتمل (بر اساس انتظار کتاب):** فرض کنید $athbf{r}$ راه از $athbf{E}$ به $athbf{A}$ است و می‌خواهیم $athbf{20}$ راه داشته باشیم: $$\text{مسیرها}: 3 + 4 + 8r = 20 \quad \Rightarrow \quad 8r = 13 \quad \Rightarrow \quad r = 1.625$$ **پاسخ آموزشی:** از آنجا که $\text{r}$ یک مسیر فیزیکی است، باید $athbf{r}$ عدد صحیح باشد. با فرض $athbf{r}=2$، تعداد کل راه‌ها $3 + 8(2) + 4 = 23$ می‌شود. با فرض $athbf{r}=1$، تعداد کل راه‌ها $15$ می‌شود. **این مسئله در اعداد صحیح جواب ندارد، مگر اینکه فرض شود $athbf{r}$ برابر با $athbf{1.625}$ باشد.**