جواب کاردرکلاس صفحه 10 ریاضی دوازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۹ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین مربوط به مفهوم **جایگشت $\mathbf{r}$ تایی از $\mathbf{n}$ شیء** است. ما باید $\mathbf{5}$ رقم ($\mathbf{r=5}$) را از بین $\mathbf{9}$ رقم متمایز ($\\mathbf{n=9}$) انتخاب کنیم و چون ترتیب قرارگیری ارقام یک عدد اهمیت دارد، از جایگشت استفاده می‌کنیم. ### ۱. روش اول: اصل ضرب ما باید $\mathbf{5}$ جایگاه را به صورت متوالی پر کنیم. از آنجایی که ارقام از $\mathbf{1}$ تا $\mathbf{9}$ هستند، هیچ محدودیتی بابت $\mathbf{0}$ وجود ندارد. * **جایگاه ۱:** $\mathbf{9}$ انتخاب * **جایگاه ۲:** $\mathbf{8}$ انتخاب * **جایگاه ۳:** $\mathbf{7}$ انتخاب * **جایگاه ۴:** $\mathbf{6}$ انتخاب * **جایگاه ۵:** $\mathbf{5}$ انتخاب $$\text{تعداد انتخاب‌ها} = \mathbf{9} \times 8 \times \mathbf{7} \times \mathbf{6} \times 5 = \mathbf{15,120}$$ ### ۲. روش دوم: نماد جایگشت تعداد جایگشت‌های $\mathbf{5}$ تایی از $\mathbf{9}$ شیء ($\\mathbf{\text{P}(9, 5)}$) برابر است با: $$\text{P}(9, \mathbf{5}) = \frac{9!}{(9 - \mathbf{5})!} = \frac{9!}{4!} = \frac{362,880}{24} = \mathbf{15,120}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۹ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی در این مسئله، هدف **تشکیل تیم** است و **ترتیب انتخاب** افراد در تیم اهمیت ندارد. اگر «علی» و «رضا» در تیم باشند، تفاوتی نمی‌کند که اول علی انتخاب شده باشد یا رضا. بنابراین، از **ترکیب (Combination)** استفاده می‌کنیم. * **تعداد کل افراد ($athbf{n}$):** $\mathbf{9}$ * **تعداد افراد انتخابی ($athbf{r}$):** $\mathbf{6}$ فرمول ترکیب: $\mathbf{\binom{\text{n}}{\text{r}} = \frac{\text{n}!}{\text{r}! (\text{n}-\text{r})!}}$ $$\binom{9}{6} = \frac{9!}{6! (9 - 6)!} = \frac{9!}{6! \times \mathbf{3!}}$$ **محاسبه:** $$\binom{9}{6} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times \cancel{6!}}{\cancel{6!} \times 3!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \frac{504}{6} = \mathbf{84}$$ **تکمیل جای خالی:** $$\text{تعداد تیم‌های } 6 \text{ نفره} = \binom{9}{6} = \frac{9!}{6! \times \mathbf{3!}} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times \mathbf{\cancel{6 \times \dots \times 1}}}{6! \times \mathbf{3 \times 2 \times 1}} = \mathbf{84}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۳ صفحه ۹ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله نمونهٔ کلاسیک از مفهوم **ترکیب** است. زیرمجموعه‌ها، مجموعه‌های کوچک‌تری هستند که از اعضای مجموعه اصلی تشکیل می‌شوند و چون **ترتیب اعضا** در یک مجموعه مهم نیست، باید از ترکیب استفاده کنیم. * **تعداد کل اعضا ($athbf{n}$):** $\mathbf{8}$ * **تعداد اعضای انتخابی ($athbf{r}$):** $\mathbf{3}$ فرمول ترکیب: $\mathbf{\binom{\text{n}}{\text{r}} = \frac{\text{n}!}{\text{r}! (\text{n}-\text{r})!}}$ $$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3! (8 - 3)!} = \frac{8!}{3! \times \mathbf{5!}}$$ **محاسبه:** $$\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times \cancel{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{(3 \times 2 \times 1) \times \cancel{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 8 \times 7 = \mathbf{56}$$ **تکمیل جای خالی:** $$\text{تعداد زیرمجموعه‌های } 3 \text{ عضوی} = \binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \times \mathbf{5!}} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times \mathbf{\cancel{5 \times \dots \times 1}}}{\mathbf{3 \times 2 \times 1} \times \mathbf{\cancel{5 \times \dots \times 1}}} = \mathbf{56}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۴ صفحه ۹ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله در مورد **انتخاب** است که در آن ترتیب مهم نیست، پس از **ترکیب** استفاده می‌کنیم. در اینجا، سؤال خواسته است که به **چند طریق می‌توانیم سه مهره از این جعبه خارج کنیم**، بدون اینکه هیچ شرطی برای رنگ آن‌ها قائل شویم. * **تعداد کل مهره‌ها ($athbf{n}$):** $\mathbf{4}$ قرمز + $\mathbf{5}$ آبی = $\mathbf{9}$ مهره * **تعداد مهره‌های انتخابی ($athbf{r}$):** $\mathbf{3}$ مهره تعداد کل روش‌های انتخاب $athbf{3}$ مهره از بین $athbf{9}$ مهره برابر با $\mathbf{\binom{9}{3}}$ است. $$\binom{9}{3} = \frac{9!}{3! (9 - 3)!} = \frac{9!}{3! \times \mathbf{6!}}$$ **محاسبه:** $$\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times \cancel{6!}}{3! \times \cancel{6!}} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \frac{504}{6} = \mathbf{84}$$ **تکمیل جای خالی:** $$\binom{9}{\mathbf{3}} = \frac{9!}{\mathbf{3!} \times \mathbf{6!}} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times \mathbf{\cancel{6!}}}{3! \times \mathbf{\cancel{6!}}} = \mathbf{84}$$