پاسخ فعالیت صفحه 7 ریاضی دوازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۷ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این فعالیت اولین گام برای درک مفهوم **جایگشت $\mathbf{r}$ تایی از $\mathbf{n}$ شیء (Permutation)** است. در این نوع شمارش، ما $\mathbf{r}$ شیء را از بین $\mathbf{n}$ شیء انتخاب می‌کنیم و **ترتیب** انتخاب‌ها مهم است. ### ۱. محاسبه تعداد اعداد ۴ رقمی **داده‌ها:** * تعداد کل ارقام ($athbf{n}$): $\mathbf{7}$ ($athbf{1}$ تا $\mathbf{7}$) * تعداد جایگاه ($athbf{r}$): $\mathbf{4}$ * **شرط:** تکرار مجاز نیست. از **اصل ضرب** برای پر کردن ۴ جایگاه استفاده می‌کنیم: * **جایگاه اول:** $athbf{7}$ انتخاب * **جایگاه دوم:** $athbf{6}$ انتخاب * **جایگاه سوم:** $athbf{5}$ انتخاب * **جایگاه چهارم:** $athbf{4}$ انتخاب $$\text{تعداد اعداد} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = \mathbf{840}$$ ### ۲. بیان فرمولی جایگشت همانطور که در راهنمایی سؤال آمده است، این ضرب متوالی را می‌توان با استفاده از نماد فاکتوریل نوشت. ما در واقع حاصل ضرب $\mathbf{4}$ عامل اول را از $\mathbf{7!}$ می‌خواهیم. برای حذف عوامل اضافی ($\mathbf{3 \times 2 \times 1}$) از صورت ($\\text{7!}$)، بر $\mathbf{3!}$ تقسیم می‌کنیم. عدد $\mathbf{3}$ همان $\mathbf{7 - 4}$ است: $$\text{تعداد جایگشت‌ها} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = \frac{7!}{(7 - 4)!} = \mathbf{P(7, 4)}$$ **نتیجهٔ مفهومی:** این مسئله یک جایگشت $\mathbf{4}$ تایی از $\mathbf{7}$ شیء است، زیرا $athbf{4}$ رقم از $athbf{7}$ رقم انتخاب شده و ترتیب قرارگیری آن‌ها ($athbf{4}$ جایگاه عدد) مهم است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۷ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی در این فعالیت، ما $\mathbf{3}$ کتاب ($\\mathbf{r=3}$) را از بین $\mathbf{5}$ کتاب ($\\mathbf{n=5}$) انتخاب می‌کنیم و **ترتیب چیدن** آن‌ها مهم است. این دقیقاً یک مسئلهٔ **جایگشت** است. ### ۱. محاسبه با اصل ضرب ما باید $\mathbf{3}$ جایگاه متوالی را پر کنیم: * **جایگاه اول (کتاب اول):** $athbf{5}$ انتخاب * **جایگاه دوم (کتاب دوم):** $athbf{4}$ انتخاب (زیرا یک کتاب قبلاً انتخاب شده است) * **جایگاه سوم (کتاب سوم):** $athbf{3}$ انتخاب $$\text{اصل ضرب} \to 5 \times \mathbf{4} \times \mathbf{3} = \mathbf{60}$$ ### ۲. بیان با نماد جایگشت تعداد کل جایگشت‌های $\mathbf{3}$ تایی از $\mathbf{5}$ شیء برابر است با $\mathbf{P(5, 3)}$: $$\mathbf{P(5, 3)} = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = \mathbf{60}$$ **تکمیل جای خالی:** $$\text{اصل ضرب} \to 5 \times \mathbf{4} \times \mathbf{3} = \mathbf{60}$$ $$\text{از طرفی: } \frac{5!}{(5 - 3)!} = \mathbf{60}$$ **نتیجه:** به $\mathbf{60}$ طریق می‌توان $\mathbf{3}$ کتاب را از بین $\mathbf{5}$ کتاب انتخاب کرده و در یک ردیف چید. --- ## ۳. حالت کلی جایگشت ($athbf{r}$ تایی از $athbf{n}$ شیء) **در حالت کلی، نشان دهید تعداد انتخاب‌های $\mathbf{r}$ شیء از بین $\mathbf{n}$ شیء، که جابه‌جایی $\mathbf{r}$ شیء انتخاب شده اهمیت داشته باشد، برابر است با $\mathbf{\frac{\text{n}!}{(\text{n}-\text{r})!}}$**. ### اثبات با اصل ضرب برای انتخاب $\mathbf{r}$ شیء به صورت متوالی، $\mathbf{r}$ مرحله داریم: 1. **مرحله ۱:** $\mathbf{n}$ انتخاب. 2. **مرحله ۲:** $\mathbf{\text{n}-1}$ انتخاب. 3. **مرحله ۳:** $\mathbf{\text{n}-2}$ انتخاب. 4. ... 5. **مرحله $athbf{r}$:** $\mathbf{\text{n} - (\text{r} - 1) = \text{n} - \text{r} + 1}$ انتخاب. $$\mathbf{\text{تعداد انتخاب‌ها} = \text{n} \times (\text{n}-1) \times \dots \times (\text{n}-\text{r}+1)}$$ ### تبدیل به فاکتوریل برای رسیدن به $\mathbf{\text{n}!}$ در صورت، باید حاصل ضرب **عوامل حذف شده** ($athbf{(\text{n}-\text{r}) \times \dots \times 1}$) را در صورت و مخرج ضرب کنیم: $$\mathbf{\text{P}(\text{n}, \text{r}) = \frac{\text{n}(\text{n}-1)(\text{n}-2)\dots(\text{n}-\text{r}+1) \times \mathbf{(\text{n}-\text{r})!}}{\mathbf{(\text{n}-\text{r})!}}}$$ **تکمیل جای خالی (بر اساس تصویر):** $$\text{n}(\text{n}-1)(\text{n}-2)\dots(\text{n}-\text{r}+2) \times \mathbf{(\text{n}-\text{r}+1)}$$ $$ = \frac{\text{n}(\text{n}-1)(\text{n}-2)\dots(\text{n}-\text{r}+1) \times \mathbf{(\text{n}-\text{r})!}}{(\text{n}-\text{r})!} = \mathbf{\frac{\text{n}!}{(\text{n}-\text{r})!}}$$ **نتیجه:** $$\mathbf{\text{P}(\text{n}, \text{r}) = \frac{\text{n}!}{(\text{n}-\text{r})!}}$$ که به آن **تعداد جایگشت‌های $athbf{r}$ تایی از $athbf{n}$ شیء متمایز** گفته می‌شود.