فعالیت ۱ صفحه ۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی
۱. اگر افراد $\text{A}$، $\text{B}$ و $\text{C}$ بخواهند در یک همایش سخنرانی کنند، این عمل به چند طریق امکان‌پذیر است؟
$$\text{3} \quad \text{2} \quad \text{1}$$
$$\overline{\text{A} \text{ یا } \text{B} \text{ یا } \text{C}} \quad \overline{\text{یکی از } \text{2} \text{ نفر باقیمانده}} \quad \overline{\text{1} \text{ نفر باقیمانده}}$$
$$\to 3 \times 2 \times 1 = 6$$
$$\text{ABC} - \text{ACB} - \text{BAC} - \text{BCA} - \text{CAB} - \text{CBA}$$
$$\to \text{اولی شخص } \text{B} \text{، بعد } \text{C} \text{ و آخر } \text{A} \text{ سخنرانی کردند}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی
این فعالیت مربوط به مفهوم **ترتیب (Permutation)** در شمارش است و به مقدمات **جایگشت‌ها** می‌پردازد. زمانی که ترتیب چیدمان یا انجام کارها اهمیت داشته باشد، از جایگشت استفاده می‌کنیم.
### ۱. محاسبه تعداد حالات سخنرانی
برای تعیین ترتیب سخنرانی $\mathbf{3}$ نفر ($\\text{A}$, $\\text{B}$, $\\text{C}$)، باید $\mathbf{3}$ مرحله متوالی را در نظر بگیریم و از **اصل ضرب** استفاده کنیم:
* **مرحله ۱ (نفر اول):** $\text{A}$ یا $\text{B}$ یا $\text{C}$. $\mathbf{3}$ انتخاب.
* **مرحله ۲ (نفر دوم):** از بین $2$ نفر باقیمانده. $\mathbf{2}$ انتخاب.
* **مرحله ۳ (نفر سوم):** $1$ نفر باقیمانده. $\mathbf{1}$ انتخاب.
$$\text{تعداد کل حالات} = 3 \times 2 \times 1 = \mathbf{6}$$
### ۲. لیست کردن تمام حالات
تمام حالات ممکن برای ترتیب سخنرانی (جایگشت‌های $\mathbf{3}$ شیء) عبارتند از:
$$\mathbf{ABC} \quad \mathbf{ACB} \quad \mathbf{BAC} \quad \mathbf{BCA} \quad \mathbf{CAB} \quad \mathbf{CBA}$$
### ۳. درک یک حالت خاص
**اولی شخص $\mathbf{B}$، بعد $\mathbf{C}$ و آخر $\mathbf{A}$ سخنرانی کردند:**
این حالت مربوط به ترتیب $\mathbf{BCA}$ است.
**نتیجه:** تعداد کل راه‌های ممکن برای تعیین ترتیب سخنرانی $\mathbf{6}$ طریق است، که برابر با $\mathbf{3!}$ (سه فاکتوریل) است.
فعالیت ۲ صفحه ۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی
۲. با ارقام $\mathbf{2, 7, 4, 5, 6}$ چند عدد $\mathbf{5}$ رقمی **(بدون تکرار ارقام)** می‌توان نوشت؟
$$\overline{5} \quad \overline{4} \quad \overline{3} \quad \overline{2} \quad \overline{1} \quad \to \text{تعداد انتخاب‌ها}$$
$$\text{تعداد اعداد } 5 \text{ رقمی } = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5!$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی
این فعالیت نیز ادامهٔ مبحث **جایگشت‌ها** است. ما می‌خواهیم $\mathbf{5}$ شیء متمایز (ارقام $\mathbf{2, 7, 4, 5, 6}$) را در $\mathbf{5}$ جایگاه (۵ رقم) بدون تکرار بچینیم.
### ۱. استفاده از اصل ضرب
برای ساختن یک عدد $\mathbf{5}$ رقمی بدون تکرار، $\mathbf{5}$ جایگاه را در نظر می‌گیریم:
* **جایگاه اول (صدگان هزار):** $\mathbf{5}$ انتخاب (هر یک از ارقام)
* **جایگاه دوم (دهگان هزار):** $\mathbf{4}$ انتخاب (زیرا یک رقم قبلاً استفاده شده و تکرار ممنوع است)
* **جایگاه سوم (هزارگان):** $\mathbf{3}$ انتخاب (دو رقم قبلاً استفاده شده)
* **جایگاه چهارم (صدگان):** $\mathbf{2}$ انتخاب
* **جایگاه پنجم (دهگان و یکان):** $\mathbf{1}$ انتخاب
$$\text{تعداد اعداد } 5 \text{ رقمی } = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$
### ۲. استفاده از مفهوم فاکتوریل
زمانی که می‌خواهیم $\mathbf{n}$ شیء متمایز را در $\mathbf{n}$ جایگاه بچینیم، تعداد کل حالات برابر با $\mathbf{n!}$ (ان فاکتوریل) است.
$$\text{تعداد اعداد } = 5! = \mathbf{120}$$
**نتیجه:** $\mathbf{120}$ عدد $\mathbf{5}$ رقمی متفاوت می‌توان با این ارقام نوشت.
فعالیت ۳ صفحه ۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی
۳. ثابت کنید تعداد کل جایگشت‌های $\mathbf{n}$ تایی از $\mathbf{n}$ شیء متمایز، برابر است با $\mathbf{n!}$.
**حل:** اگر برای هر کدام از این اشیا یک مکان در نظر بگیریم (مطابق شکل زیر)، برای مکان اول (از چپ یا راست) $\mathbf{n}$ انتخاب داریم و برای مکان بعدی $\dots$ انتخاب داریم و $\dots$ و برای مکان آخر یک انتخاب داریم و بنابراین اصل ضرب، کل حالات برابر است با $\mathbf{n \times (\text{n}-1) \times (\text{n}-2) \times \dots \times 2 \times 1 = \dots}$.
$$\overline{\text{n}} \quad \overline{\text{n}-1} \quad \overline{\text{n}-2} \quad \dots \quad \overline{2} \quad \overline{1}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی
این فعالیت در واقع **اثبات رسمی** مفهوم **فاکتوریل** ($\\mathbf{\text{n}!}$) را به عنوان تعداد کل **جایگشت‌های** $\mathbf{n}$ شیء متمایز نشان می‌دهد. این اثبات بر اساس **اصل ضرب** در شمارش استوار است.
### ۱. اثبات از طریق اصل ضرب
فرض کنید $\mathbf{n}$ شیء متمایز داریم و می‌خواهیم آن‌ها را در $\mathbf{n}$ جایگاه (به ترتیب) قرار دهیم:
* **مرحله ۱ (جایگاه اول):** برای اولین جایگاه، $\mathbf{n}$ شیء در دسترس است. $\mathbf{n}$ انتخاب.
* **مرحله ۲ (جایگاه دوم):** یک شیء قبلاً قرار داده شده است، پس $\mathbf{n}-1$ شیء باقی مانده است. $\mathbf{\text{n}-1}$ انتخاب.
* **مرحله ۳ (جایگاه سوم):** $\mathbf{n}-2$ شیء باقی مانده است. $\mathbf{\text{n}-2}$ انتخاب.
* $\dots$
* **مرحله ماقبل آخر (جایگاه $\mathbf{n}-1$):** $\mathbf{2}$ شیء باقی مانده است. $\mathbf{2}$ انتخاب.
* **مرحله آخر (جایگاه $\mathbf{n}$):** $\mathbf{1}$ شیء باقی مانده است. $\mathbf{1}$ انتخاب.
### ۲. تکمیل جای خالی و نتیجه‌گیری
**تکمیل متن:**
اگر برای هر کدام از این اشیا یک مکان در نظر بگیریم (مطابق شکل زیر)، برای مکان اول (از چپ یا راست) $\text{n}$ انتخاب داریم و برای مکان بعدی $\mathbf{\text{n}-1}$ انتخاب داریم و $\mathbf{\text{n}-2}$ و $\dots$ و برای مکان آخر یک انتخاب داریم و بنابراین اصل ضرب، کل حالات برابر است با:
$$\mathbf{n \times (\text{n}-1) \times (\text{n}-2) \times \dots \times 2 \times 1}$$
**نتیجهٔ نهایی:**
حاصل ضرب تمام اعداد صحیح مثبت از $\mathbf{n}$ تا $\mathbf{1}$، برابر با **فاکتوریل $\mathbf{n}$** است:
$$\mathbf{n \times (\text{n}-1) \times (\text{n}-2) \times \dots \times 2 \times 1 = \text{n}!}$$
نگار عباسی
1403/07/09
خوبه