پاسخ فعالیت صفحه 20 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 1 صفحه 20 حسابان دوازدهم سلام به شما! این فعالیت به ریشه‌یابی و تعمیم اتحادهای معروف در چندجمله‌ای‌ها می‌پردازد. این اتحادها در **تجزیه چندجمله‌ای‌ها** بسیار کاربردی هستند. --- ### 1. نشان دادن اتحاد $x^4 - a^4$ برای نشان دادن این اتحاد، باید باقی‌مانده تقسیم $x^4 - a^4$ بر $x - a$ را صفر نشان دهیم (بخش‌پذیری) و خارج قسمت را محاسبه کنیم. #### روش الف: استفاده از قضیه باقی‌مانده (اثبات بخش‌پذیری) ریشه مقسوم‌علیه $x-a$، برابر با $x=a$ است. باقی‌مانده $r$ برابر است با $f(a)$: $$r = f(a) = a^4 - a^4 = 0$$ چون باقی‌مانده صفر است، پس $x^4 - a^4$ بر $x - a$ بخش‌پذیر است. #### روش ب: انجام تقسیم (یا استفاده از اتحادهای قبلی) ما می‌دانیم که $x^4 - a^4$ یک تفاضل مربع کامل است: $$x^4 - a^4 = (x^2 - a^2)(x^2 + a^2)$$ حالا $(x^2 - a^2)$ را با اتحاد مزدوج تجزیه می‌کنیم: $$x^4 - a^4 = (x-a)(x+a)(x^2 + a^2)$$ برای به دست آوردن اتحاد نهایی، باید دو پرانتز آخر را در هم ضرب کنیم (این همان خارج قسمت است): $$\text{خارج قسمت} = (x+a)(x^2 + a^2) = x(x^2 + a^2) + a(x^2 + a^2)$$ $$\text{خارج قسمت} = x^3 + a^2x + ax^2 + a^3$$ $$\text{خارج قسمت} = x^3 + ax^2 + a^2x + a^3$$ پس، **نشان داده شد** که: $$x^4 - a^4 = (x-a)(x^3 + ax^2 + a^2x + a^3)$$ --- ### 2. بررسی بخش‌پذیری $x^n - a^n$ بر $x - a$ این یک **تعمیم** مهم است که به قضیه **ریشه** مشهور است. #### راه حل باقی‌مانده تقسیم $f(x) = x^n - a^n$ بر $x - a$، برابر با $f(a)$ است. $$r = f(a) = a^n - a^n = 0$$ * **نتیجه:** چون باقی‌مانده این تقسیم همیشه **صفر** است (به شرطی که $n \in \mathbb{N}$)، پس چندجمله‌ای $x^n - a^n$ به ازای هر عدد طبیعی $n$، **همواره بر $x - a$ بخش‌پذیر است**. --- ### نتیجه نهایی (اتحاد تعمیم یافته) از این بخش‌پذیری، اتحاد کلی زیر حاصل می‌شود: $$x^n - a^n = (x-a)(x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \dots + a^{n-1})$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 3 و 4 صفحه 20 حسابان دوازدهم این قسمت به طور مستقیم اتحاد کلی برای **تفاضل توان‌های همسان** را معرفی می‌کند و سپس از آن در تجزیه چندجمله‌ای‌های خاص استفاده می‌کنیم. --- ### 3. اثبات اتحاد $x^n - a^n$ همانطور که در بخش قبل دیدیم، چون $f(a) = a^n - a^n = 0$، پس $x^n - a^n$ بر $x-a$ بخش‌پذیر است. برای یافتن خارج قسمت، باید تقسیم را انجام دهیم (مثلاً با تقسیم طولانی یا هورنر). **روش ساده برای استدلال:** فرض کنید $Q(x)$ خارج قسمت تقسیم $x^n - a^n$ بر $x-a$ باشد: $$x^n - a^n = (x-a) Q(x)$$ **خصوصیات خارج قسمت $Q(x)$:** 1. **درجه:** درجه $Q(x)$ برابر است با $n - 1$. 2. **ضریب جمله اول:** ضریب $x^{n-1}$ باید 1 باشد، زیرا $x^{n-1} \times x = x^n$. 3. **جملات واسط:** با انجام تقسیم، مشخص می‌شود که توان‌های $x$ از $x^{n-1}$ شروع شده و به $x^0$ ختم می‌شوند و توان‌های $a$ برعکس، از $a^0$ شروع شده و به $a^{n-1}$ ختم می‌شوند و **تمامی علائم مثبت** هستند. $$Q(x) = x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \dots + a^{n-2}x + a^{n-1}$$ با جایگذاری $Q(x)$، **اتحاد اثبات می‌شود**: $$x^n - a^n = (x-a)(x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \dots + a^{n-2}x + a^{n-1})$$ --- ### 4. تجزیه چندجمله‌ای‌ها با کمک اتحاد #### الف) تجزیه $x^5 - 1$ این عبارت به شکل $x^n - a^n$ است که در آن $n=5$ و $a=1$. $$x^5 - 1^5 = (x-1)(x^{5-1} + 1 \cdot x^{5-2} + 1^2 \cdot x^{5-3} + 1^3 \cdot x^{5-4} + 1^4)$$ $$x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$$ #### ب) تجزیه $x^6 - 64$ این عبارت به شکل $x^n - a^n$ است که در آن $n=6$ و $a$ باید ریشه ششم 64 باشد. می‌دانیم که $2^6 = 64$، پس $a=2$. $$x^6 - 64 = x^6 - 2^6$$ $$x^6 - 2^6 = (x-2)(x^{6-1} + 2x^{6-2} + 2^2x^{6-3} + 2^3x^{6-4} + 2^4x^{6-5} + 2^5)$$ $$x^6 - 64 = (x-2)(x^5 + 2x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 16x + 32)$$ **توجه:** $x^6 - 64$ را می‌توان با اتحاد مزدوج نیز تجزیه کامل‌تری کرد، اما در اینجا فقط از اتحاد خواسته شده استفاده کردیم: $$x^6 - 64 = (x^3 - 8)(x^3 + 8) = (x-2)(x^2+2x+4)(x+2)(x^2-2x+4)$$ --- ### کار در کلاس 1: اتحاد برای $x^n + a^n$ (n فرد) در اتحاد $x^n - a^n$، اگر $n$ فرد باشد، با تغییر $a$ به $-a$، اتحاد زیر را نتیجه بگیرید. $$x^n + a^n = (x+a)(x^{n-1} - ax^{n-2} + a^2x^{n-3} - \dots - ax + a^{n-1})$$ به کمک این اتحاد، چندجمله‌ای $x^5 + 1$ را تجزیه کنید. **اثبات اتحاد:** اتحاد اصلی برای تفاضل: $$x^n - a^n = (x-a)(x^{n-1} + ax^{n-2} + \dots + a^{n-1})$$ چون $n$ **فرد** است، داریم: $$-a^n = (-a)^n$$ اگر در اتحاد اصلی به جای $a$، عبارت $-a$ را قرار دهیم: $$\text{طرف چپ: } x^n - (-a)^n = x^n - (-a^n) = x^n + a^n$$ $$\text{طرف راست: } (x - (-a))(x^{n-1} + (-a)x^{n-2} + (-a)^2x^{n-3} + \dots + (-a)^{n-1})$$ $$\text{طرف راست: } (x + a)(x^{n-1} - ax^{n-2} + a^2x^{n-3} - a^3x^{n-4} + \dots + a^{n-1})$$ **(توجه:** چون $n$ فرد است، $n-1$ زوج و $(-a)^{n-1} = a^{n-1}$ خواهد بود.) **نتیجه اتحاد:** $$x^n + a^n = (x+a)(x^{n-1} - ax^{n-2} + a^2x^{n-3} - \dots + a^{n-1})$$ #### تجزیه $x^5 + 1$ این عبارت به شکل $x^n + a^n$ است که در آن $n=5$ (فرد) و $a=1$. $$x^5 + 1^5 = (x+1)(x^{5-1} - 1 \cdot x^{5-2} + 1^2 \cdot x^{5-3} - 1^3 \cdot x^{5-4} + 1^4)$$ $$x^5 + 1 = (x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$$ --- ### کار در کلاس 2: اتحاد برای $x^n - a^n$ (n زوج) در فعالیت بالا، اگر $n$ زوج باشد، با تغییر $a$ به $-a$، اتحاد زیر را نتیجه بگیرید. $$x^n - a^n = (x+a)(x^{n-1} - ax^{n-2} + a^2x^{n-3} - \dots + a^{n-2}x - a^{n-1})$$ به کمک این اتحاد، چندجمله‌ای $x^4 - 16$ را طوری تجزیه کنید که $x+2$ یک عامل آن باشد. **اثبات اتحاد:** اتحاد اصلی برای تفاضل: $$x^n - a^n = (x-a)(x^{n-1} + ax^{n-2} + \dots + a^{n-1})$$ چون $n$ **زوج** است، داریم: $$-a^n = a^n$$ اگر در اتحاد اصلی به جای $a$، عبارت $-a$ را قرار دهیم: $$\text{طرف چپ: } x^n - (-a)^n = x^n - a^n$$ $$\text{طرف راست: } (x - (-a))(x^{n-1} + (-a)x^{n-2} + (-a)^2x^{n-3} + \dots + (-a)^{n-1})$$ $$\text{طرف راست: } (x + a)(x^{n-1} - ax^{n-2} + a^2x^{n-3} - a^3x^{n-4} + \dots - a^{n-1})$$ **(توجه:** چون $n$ زوج است، $n-1$ فرد و $(-a)^{n-1} = -a^{n-1}$ خواهد بود.) **نتیجه اتحاد:** $$x^n - a^n = (x+a)(x^{n-1} - ax^{n-2} + a^2x^{n-3} - \dots - a^{n-1})$$ #### تجزیه $x^4 - 16$ این عبارت به شکل $x^n - a^n$ است که در آن $n=4$ (زوج) و $a=2$. این اتحاد به ما اطمینان می‌دهد که $(x+2)$ یک عامل تجزیه است. $$x^4 - 16 = x^4 - 2^4$$ $$x^4 - 2^4 = (x+2)(x^{4-1} - 2x^{4-2} + 2^2x^{4-3} - 2^3)$$ $$x^4 - 16 = (x+2)(x^3 - 2x^2 + 4x - 8)$$ **بررسی:** اگر $(x+2)(x^3 - 2x^2 + 4x - 8)$ را در هم ضرب کنیم، به $x^4 - 16$ می‌رسیم. **پاسخ نهایی:** $x^4 - 16 = (x+2)(x^3 - 2x^2 + 4x - 8)$