پاسخ فعالیت صفحه 14 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 1 صفحه 14 حسابان دوازدهم سلام به شما! این فعالیت به بررسی یکی از توابع مهم چندجمله‌ای یعنی $y = x^3$ و مفهوم **وارون‌پذیری** آن می‌پردازد. وارون‌پذیری یک تابع، شرط مهمی در ریاضیات است. --- ### 1. تکمیل جدول و رسم نمودار $f(x) = x^3$ 📈 برای تکمیل جدول، کافی است مقادیر $x$ را به توان 3 برسانیم: | $x$ | $y = x^3$ | نقطه $(x, y)$ | |:---:|:---:|:---:| | $-2$ | $(-2)^3 = -8$ | $(-2, -8)$ | | $-1$ | $(-1)^3 = -1$ | $(-1, -1)$ | | $-\frac{1}{2}$ | $(-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$ | $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{8})$ | | $0$ | $0^3 = 0$ | $(0, 0)$ | | $\frac{1}{2}$ | $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ | $(\frac{1}{2}, \frac{1}{8})$ | | $1$ | $1^3 = 1$ | $(1, 1)$ | | $2$ | $2^3 = 8$ | $(2, 8)$ | با مشخص کردن این نقاط روی دستگاه مختصات و وصل کردن آن‌ها به صورت یک منحنی نرم، نمودار تابع $f(x) = x^3$ رسم می‌شود. این نمودار از ربع سوم شروع شده و از مبدا $(0, 0)$ می‌گذرد و به ربع اول می‌رود. --- ### 2. اثبات وارون‌پذیری با کمک نمودار ✔️ یک تابع زمانی **وارون‌پذیر** است که **یک به یک (One-to-One)** باشد. به این معنی که برای هر خروجی ($y$) تنها یک ورودی ($x$) وجود داشته باشد. از لحاظ نموداری، این ویژگی با **آزمون خط افقی** بررسی می‌شود: > **آزمون خط افقی:** اگر هر خط افقی دلخواه، نمودار تابع را **حداکثر در یک نقطه** قطع کند، تابع یک به یک و در نتیجه **وارون‌پذیر** است. * **مشاهده نمودار $f(x) = x^3$:** اگر به نموداری که رسم کرده‌اید، نگاه کنید، هر خط افقی که رسم کنید، نمودار را تنها در **یک نقطه** قطع می‌کند. * **نتیجه:** چون $y = x^3$ آزمون خط افقی را با موفقیت پشت سر می‌گذارد، این تابع **وارون‌پذیر** است. --- ### 3. رسم نمودار $f^{-1}$ و تعیین ضابطه آن 🔄 #### الف) تعیین ضابطه وارون $f^{-1}(x)$ برای یافتن ضابطه وارون، مراحل زیر را طی می‌کنیم: 1. **تابع اصلی:** $$y = x^3$$ 2. **جایگزینی $x$ و $y$ (وارون‌سازی):** $$x = y^3$$ 3. **حل معادله برای $y$:** برای جدا کردن $y$، باید از دو طرف ریشه سوم بگیریم: $$\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{y^3}$$ $$y = \sqrt[3]{x}$$ * **ضابطه تابع وارون:** $$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$$ #### ب) رسم نمودار $f^{-1}(x)$ نمودار تابع وارون $y = f^{-1}(x)$، **قرینه نمودار تابع اصلی $y = f(x)$ نسبت به خط $y = x$** است. * **نکات مهم:** محور تقارن برای رسم وارون، همان خط $y = x$ است. * **نقاط وارون:** برای رسم نمودار $y = \sqrt[3]{x}$، کافی است مختصات نقاط کلیدی تابع اصلی را **عوض کنیم**: * $(1, 1) \to (1, 1)$ * $(2, 8) \to (8, 2)$ * $(-1, -1) \to (-1, -1)$ * $(-2, -8) \to (-8, -2)$ * $(0, 0) \to (0, 0)$ با رسم این نقاط، می‌بینید که نمودار $y = \sqrt[3]{x}$ همانند $y = x^3$ از مبدا می‌گذرد، اما به شکل افقی‌تری کشیده شده است. {x}$ reflected over $y=x$]