پاسخ فعالیت صفحه 37 ریاضی دوازدهم

حل تمرین فعالیت صفحه 37 ریاضی دوازدهم ### الف) تغییرات $\tan \alpha$ هنگام نزدیک شدن $\alpha$ به $\frac{\pi}{2}$ 1. **بررسی از روی نمودار:** همانطور که در نمودار دایره مثلثاتی دیده می‌شود، با افزایش زاویه $\alpha$ به سمت $\frac{\pi}{2}$ (حرکت ضلع دوم زاویه به سمت بالا): * **ضلع دوم زاویه** (پاره‌خط $OM$) به تدریج به **موازات محور تانژانت** ($T'AT$) نزدیک می‌شود. * **نقطه برخورد** ضلع دوم زاویه با محور تانژانت ($T'AT$) به سمت **بالا و دورتر از محور کسینوس‌ها** حرکت می‌کند. 2. **بررسی جبری:** $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ * وقتی $\alpha \to \frac{\pi}{2}^-$ (از سمت چپ به $\frac{\pi}{2}$ نزدیک می‌شود): * $\sin \alpha \to 1$ (به یک نزدیک می‌شود). * $\cos \alpha \to 0^+$ (به صفر از سمت مقادیر مثبت نزدیک می‌شود). * حاصل کسر: $\frac{1}{0^+}$، که مقداری بسیار بزرگ و مثبت است. $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ با نزدیک شدن مداوم زاویه } \alpha \text{ به } \frac{\pi}{2} \text{، مقادیر تانژانت بدون حد و مرز افزایش می‌یابد و به } \mathbf{+\infty} \text{ میل می‌کند.}$$ $$\text{به زبان دیگر، برد تابع } \tan \alpha \text{ در ربع اول، بازه } (0, +\infty) \text{ است.}$$ --- ### ب) یافتن زاویه $\alpha$ برای یک مقدار تانژانت مثبت ($a = \tan \alpha$) $$\mathbf{\text{پاسخ:}} \text{ بله، با استفاده از تابع وارون تانژانت (آرک‌تانژانت) می‌توان این زاویه را پیدا کرد.}$$ 1. **استفاده از محور تانژانت:** * محور تانژانت ($T'AT$) یک خط عمودی است که از نقطه $(1, 0)$ می‌گذرد. * چون $a$ یک عدد حقیقی مثبت است، آن را روی **محور تانژانت** (بالاتر از محور کسینوس‌ها) مشخص می‌کنیم. 2. **رسم خط:** * نقطه‌ای به مختصات $A' = (1, a)$ را روی محور تانژانت در نظر می‌گیریم. * پاره‌خطی را از **مبدأ** ($O$) به این نقطه ($A'$) رسم می‌کنیم. 3. **تعیین زاویه:** * زاویه $\alpha$، زاویه‌ای است که این پاره‌خط ایجاد شده با **محور کسینوس‌های مثبت** می‌سازد. $$\mathbf{\text{نتیجه جبری:}} \text{ زاویه } \alpha \text{ به صورت } \mathbf{\alpha = \arctan(a)} \text{ به دست می‌آید.}$$ $$\text{چون برد تابع تانژانت تمام اعداد حقیقی } (\mathbb{R}) \text{ است، برای هر عدد } a \in \mathbb{R} \text{، حداقل یک زاویه (در دامنه اصلی تانژانت) وجود دارد که } \tan \alpha = a \text{ باشد.}$$