پاسخ فعالیت صفحه 32 ریاضی دوازدهم تجربی

حل تمرین فعالیت صفحه 32 ریاضی دوازدهم این بخش مقدمه‌ای برای بررسی تأثیر ضریب $a$ (دامنه نوسان) بر روی توابع مثلثاتی $y = a \sin x$ است. تابع مادر $y = \sin x$: * **دوره تناوب ($T$):** $2\pi$ * **مقدار ماکزیمم:** $1$ * **مقدار مینیمم:** $-1$ همانطور که در ادامه بررسی می‌شود، ضریب $a$ تنها بر روی مقادیر ماکزیمم و مینیمم (یعنی برد تابع) تأثیر می‌گذارد و باعث کشیدگی یا فشردگی عمودی نمودار می‌شود، اما **دوره تناوب** را تغییر نمی‌دهد.

حل تمرین 2 صفحه 32 ریاضی دوازدهم با توجه به نمودارهای رسم شده برای توابع $y = a \sin x$، جدول زیر را تکمیل می‌کنیم. طول هر سیکل کامل نمودار در تمام حالات $2\pi$ باقی می‌ماند، اما دامنه نوسان (فاصله بین ماکزیمم و مینیمم) تغییر می‌کند. | تابع | نمودار تابع | ماکزیمم | مینیمم | دوره تناوب (T) | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $y = \sin x$ (آبی) | | $1$ | $-1$ | $2\pi$ | | $y = 2\sin x$ (صورتی) | | $2$ | $-2$ | $2\pi$ | | $y = -2\sin x$ (سبز) | | $2$ | $-2$ | $2\pi$ | | $y = \frac{1}{2}\sin x$ (نارنجی) | | $\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $2\pi$ | | $y = -\frac{1}{2}\sin x$ (بنفش) | | $\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $2\pi$ | **نتیجه‌گیری از نمودارها:** * **دوره تناوب:** ضریب $a$ در $y = a \sin x$ هیچ تأثیری بر دوره تناوب ندارد و دوره تناوب همچنان $\mathbf{T = 2\pi}$ است. * **مقادیر ماکزیمم و مینیمم:** * مقدار ماکزیمم برابر $\mathbf{|a|}$ است. * مقدار مینیمم برابر $\mathbf{-|a|}$ است. (این ضریب $|a|$، همان **دامنه نوسان** یا Amplitude است.)

حل تمرین 3 صفحه 32 ریاضی دوازدهم تابع $y = a \sin x + c$ از دو تبدیل بر روی تابع $y = \sin x$ تشکیل شده است: 1. **کشش/فشردگی عمودی و قرینه‌سازی:** ضرب در $a$ (که برد را به $[ -|a|, |a| ]$ تبدیل می‌کند). 2. **انتقال عمودی:** جمع $c$ (که نمودار را $c$ واحد در راستای محور $y$ جابجا می‌کند). ### 1. دوره تناوب انتقال عمودی ($+c$) و تغییر دامنه نوسان ($a$)، هیچ تأثیری بر طول موج (دوره تناوب) ندارد. $$\mathbf{\text{دوره تناوب: } T = 2\pi}$$ ### 2. مقادیر ماکزیمم و مینیمم انتقال عمودی $c$، مقادیر ماکزیمم و مینیمم اولیه تابع را نیز به اندازه $c$ جابجا می‌کند. * **مقدار ماکزیمم:** $|a| + c$ $$\mathbf{y_{max} = |a| + c}$$ * **مقدار مینیمم:** $-|a| + c$ $$\mathbf{y_{min} = -|a| + c}$$ **نتیجه‌گیری کلی:** ضریب $a$ دامنه نوسان و ضریب $c$ انتقال عمودی (خط میانی) تابع را مشخص می‌کند. همین قواعد برای تابع $\mathbf{y = a \cos x + c}$ نیز برقرار است.