حل تمرین صفحه 29 ریاضی دوازدهم

حل تمرین 1 صفحه 29 ریاضی دوازدهم ### الف) $f(x) = \frac{-8x + 3}{2}$ 1. **ساده‌سازی ضابطه:** $$f(x) = -4x + \frac{3}{2}$$ 2. **تعیین وارون:** $y = -4x + \frac{3}{2}$ $$\text{حل برای } x \text{ : } 4x = \frac{3}{2} - y$$ $$x = \frac{1}{4} (\frac{3}{2} - y) = \frac{3}{8} - \frac{1}{4}y$$ 3. **جابجایی $x$ و $y$ (ضابطه وارون):** $$\mathbf{f^{-1}(x) = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{8}}$$ *** ### ب) $g(x) = -5 - \sqrt{3x + 1}$ 1. **دامنه تابع اصلی ($D_g$):** $3x + 1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$. $D_g = [-\frac{1}{3}, +\infty)$. 2. **برد تابع اصلی ($R_g$):** چون $\sqrt{3x + 1} \ge 0$，پس $-\sqrt{3x + 1} \le 0$. در نتیجه $g(x) = -5 - \sqrt{3x + 1} \le -5$. $R_g = (-\infty, -5]$. 3. **تعیین وارون:** $y = -5 - \sqrt{3x + 1}$ $$\text{حل برای } x \text{ : } \sqrt{3x + 1} = -5 - y = -(y + 5)$$ $$\text{شرط: } -(y + 5) \ge 0 \implies y + 5 \le 0 \implies y \le -5 \text{ (که با برد تابع اصلی سازگار است).}$$ $$\text{به توان } 2 \text{ : } 3x + 1 = (-(y + 5))^2 = (y + 5)^2$$ $$3x = (y + 5)^2 - 1$$ $$x = \frac{1}{3} [(y + 5)^2 - 1]$$ 4. **جابجایی $x$ و $y$ (ضابطه وارون):** $$g^{-1}(x) = \frac{1}{3} [(x + 5)^2 - 1]$$ $$\mathbf{g^{-1}(x) = \frac{1}{3} (x + 5)^2 - \frac{1}{3}}$$ $$\mathbf{\text{دامنه وارون: } D_{g^{-1}} = R_g = (-\infty, -5]}$$

حل تمرین 2 صفحه 29 ریاضی دوازدهم برای اثبات اینکه دو تابع $f$ و $g$ وارون یکدیگرند، باید نشان دهیم که $(f \circ g)(x) = x$ و $(g \circ f)(x) = x$ برای هر $x$ در دامنه‌های مربوطه برقرار است. ### الف) $f(x) = -\frac{7}{2}x - 3$ ، $g(x) = \frac{-2x - 6}{7}$ **1. ضابطه $g$ را ساده می‌کنیم:** $g(x) = -\frac{2}{7}x - \frac{6}{7}$. **2. محاسبه $(f \circ g)(x)$:** $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = -\frac{7}{2} (\frac{-2x - 6}{7}) - 3$$ $$= -\frac{1}{2} (-2x - 6) - 3 = x + 3 - 3 = x$$ **3. محاسبه $(g \circ f)(x)$:** $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{-2(-\frac{7}{2}x - 3) - 6}{7}$$ $$= \frac{(7x + 6) - 6}{7} = \frac{7x}{7} = x$$ $$\mathbf{\text{نتیجه: چون } (f \circ g)(x) = x \text{ و } (g \circ f)(x) = x \text{، } f \text{ و } g \text{ وارون یکدیگرند.}}$$ *** ### ب) $f(x) = -\sqrt{x - 8}$ ، $g(x) = 8 + x^2 \text{ ; } x \le 0$ **1. دامنه‌ها و بردها:** * $D_f = ,8, +\infty)$$. * $D_g = (-\infty, 0]$, $R_g = ERROR ULTRAFUNCTION:Bad Command:8, +\infty)$. **2. محاسبه $(f \circ g)(x)$:** (دامنه $D_{f \circ g}$ باید $D_g = (-\infty, 0$ باشد.) $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(8 + x^2) = -\sqrt{(8 + x^2) - 8}$$ $$= -\sqrt{x^2} = -|x|$$ $$\text{چون } x \in D_g = (-\infty, 0] \text{، پس } |x| = -x \text{.}$$ $$(f \circ g)(x) = -(-x) = x \quad \text{برای } x \le 0$$ **3. محاسبه $(g \circ f)(x)$:** (دامنه $D_{g \circ f}$ باید $D_f = [8, +\infty)$ باشد.) $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(-\sqrt{x - 8})$$ $$= 8 + (-\sqrt{x - 8})^2 = 8 + (x - 8) = x$$ $$\mathbf{\text{نتیجه: چون } (f \circ g)(x) = x \text{ در } D_g \text{ و } (g \circ f)(x) = x \text{ در } D_f \text{، } f \text{ و } g \text{ وارون یکدیگرند.}}$$

حل تمرین 3 صفحه 29 ریاضی دوازدهم ### 1. تعیین ضابطه تابع وارون $f^{-1}(x)$ تابع اصلی: $y = \frac{9}{5}x + 32$ (تبدیل سانتی‌گراد به فارنهایت) 1. **حل برای $x$:** $$y - 32 = \frac{9}{5}x$$ $$x = \frac{5}{9} (y - 32)$$ 2. **جابجایی $x$ و $y$ (ضابطه وارون):** $$\mathbf{f^{-1}(x) = \frac{5}{9} (x - 32)}$$ *** ### 2. توضیح مفهوم $f^{-1}(x)$ تابع اصلی $f(x)$ یک دمای سانتی‌گراد ($x$) را می‌گیرد و دمای فارنهایت ($f(x)$) را برمی‌گرداند. **تابع وارون $f^{-1}(x)$ عکس این عمل را انجام می‌دهد.** $$\mathbf{\text{توضیح: } f^{-1}(x) \text{ رابطه‌ای است که درجه فارنهایت } (x) \text{ را به درجه سانتی‌گراد } (f^{-1}(x)) \text{ تبدیل می‌کند.}}$$ به عبارت دیگر، $f^{-1}(x)$ میزان دما بر حسب درجه سانتی‌گراد متناظر با دمای $x$ بر حسب درجه فارنهایت را نشان می‌دهد.

حل تمرین 4 صفحه 29 ریاضی دوازدهم برای توابعی که یک به یک نیستند، با محدود کردن دامنه به بازه‌ای که در آن تابع **اکیداً صعودی** یا **اکیداً نزولی** است، یک تابع یک به یک جدید می‌سازیم. ### الف) $f(x) = |x|$ 1. **محدود کردن دامنه:** نمودار $y = |x|$ در $x=0$ تغییر جهت می‌دهد. می‌توانیم آن را به بازه $,0$ محدود کنیم. $$\text{انتخاب بازه: } D_f = ERROR ULTRAFUNCTION:Bad Command:0, +\infty) \implies f(x) = x$$ 2. **ضابطه وارون:** $y = x \implies x = y$. جابجایی: $f^{-1}(x) = x$ * **دامنه $D_{f^{-1}}$:** $[0, +\infty)$ (برابر برد $f$). $$\mathbf{\text{تابع یک به یک: } f(x) = x \text{ ; } x \ge 0}$$ $$\mathbf{\text{ضابطه وارون: } f^{-1}(x) = x \text{ ; } x \ge 0}$$ *** ### ب) $g(x) = -x^4$ 1. **محدود کردن دامنه:** این تابع زوج است و در $[0, +\infty)$ نزولی و در $(-\infty, 0]$ صعودی است. $$\text{انتخاب بازه: } D_g = [0, +\infty) \implies g(x) = -x^4 \text{ (نزولی)}$$ * **برد $R_g$:** $(-\infty, 0]$. 2. **ضابطه وارون:** $y = -x^4$. شرط: $y \le 0$. * $-y = x^4 \implies x = \sqrt[4]{-y}$ * جابجایی $x$ و $y$: $g^{-1}(x) = \sqrt[4]{-x}$ * **دامنه $D_{g^{-1}}$:** $(-\infty, 0]$. $$\mathbf{\text{تابع یک به یک: } g(x) = -x^4 \text{ ; } x \ge 0}$$ $$\mathbf{\text{ضابطه وارون: } g^{-1}(x) = \sqrt[4]{-x} \text{ ; } x \le 0}$$ *** ### پ) $h(x) = x^2 + 4x + 3$ 1. **تعیین رأس سهمی:** $h(x)$ یک سهمی است. مختصات $x$ رأس از $x = -\frac{b}{2a}$ به دست می‌آید: $$x = -\frac{4}{2(1)} = -2$$ 2. **محدود کردن دامنه:** تابع در $(-\infty, -2$ نزولی و در $[-2, +\infty)$ صعودی است. $$\text{انتخاب بازه: } D_h = [-2, +\infty) \text{ (صعودی)}$$ * **برد $R_h$:** $h(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. $R_h = [-1, +\infty)$. 3. **ضابطه وارون:** $y = x^2 + 4x + 3$. از روش مربع کامل استفاده می‌کنیم: $$y = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 3 = (x + 2)^2 - 1$$ $$y + 1 = (x + 2)^2$$ $$\text{چون } x \ge -2 \text{، پس } x + 2 \ge 0 \text{. بنابراین: } x + 2 = \sqrt{y + 1}$$ $$x = \sqrt{y + 1} - 2$$ 4. **جابجایی $x$ و $y$ (ضابطه وارون):** $$h^{-1}(x) = \sqrt{x + 1} - 2$$ * **دامنه $D_{h^{-1}}$:** $[-1, +\infty)$ (برابر برد $h$). $$\mathbf{\text{تابع یک به یک: } h(x) = x^2 + 4x + 3 \text{ ; } x \ge -2}$$ $$\mathbf{\text{ضابطه وارون: } h^{-1}(x) = \sqrt{x + 1} - 2 \text{ ; } x \ge -1}$$

حل تمرین 5 صفحه 29 ریاضی دوازدهم برای محاسبه $f^{-1}(x)$ از روی نمودار $f(x)$، باید به یاد داشته باشیم که اگر $(a, b)$ یک نقطه روی نمودار $f$ باشد، آنگاه $(b, a)$ یک نقطه روی نمودار $f^{-1}$ خواهد بود. به عبارت دیگر، برای یافتن $f^{-1}(x)$، باید مقادیر $x$ در جدول را به عنوان خروجی‌های $f$ (یعنی $y$) در نظر بگیریم و ورودی متناظر ($x$) را پیدا کنیم. ### 1. خواندن نقاط کلیدی نمودار $f$ نقاط مشخص شده روی نمودار $f$ عبارتند از: * $f(-4) = -4$ $\implies (-4, -4)$ * $f(-2) = -2$ $\implies (-2, -2)$ * $f(1) = 2$ $\implies (1, 2)$ * $f(3) = 3$ $\implies (3, 3)$ ### 2. محاسبه $f^{-1}(x)$ (جابجایی مختصات) 1. **$f^{-1}(-4)$:** به دنبال $x$ ای هستیم که $f(x) = -4$. از نمودار، $f(-4) = -4$. $$f^{-1}(-4) = -4$$ 2. **$f^{-1}(-2)$:** به دنبال $x$ ای هستیم که $f(x) = -2$. از نمودار، $f(-2) = -2$. $$f^{-1}(-2) = -2$$ 3. **$f^{-1}(2)$:** به دنبال $x$ ای هستیم که $f(x) = 2$. از نمودار، $f(1) = 2$. $$f^{-1}(2) = 1$$ 4. **$f^{-1}(3)$:** به دنبال $x$ ای هستیم که $f(x) = 3$. از نمودار، $f(3) = 3$. $$f^{-1}(3) = 3$$ ### 3. تکمیل جدول | $x$ | $-4$ | $-2$ | $2$ | $3$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $f^{-1}(x)$ | $-4$ | $-2$ | $1$ | $3$ |