هنگامی که غذا از یخچال بیرون آورده می‌شود، دمای آن با گذشت زمان افزایش می‌یابد و مقدار این دما با استفاده از تابع $d(t)$ با ضابطه زیر به دست می‌آید:
$$d(t) = 4t + 2 \quad ; \quad 0 \le t \le 3 \quad (\text{واحد } t \text{، ساعت است.})$$
الف) هر کدام از مقادیر زیر را مانند نمونه به دست آورده و آن‌ها را تفسیر کنید.
\begin{itemize}
\item $d(2) = 10$. \quad $(\text{تفسیر: دمای غذایی که دو ساعت از یخچال بیرون مانده است، برابر } 10 \text{ درجه سانتی‌گراد است.})$
\item $d(1) = \dots$
\item $d(3) = \dots$
\end{itemize}
همچنین اگر یک ماده غذایی را با دمای $2$ درجه سانتی‌گراد از یخچال بیرون آوریم، میزان افزایش تعداد باکتری‌ها با بالا رفتن دما با استفاده از تابع $n(d)$ با ضابطه زیر به دست می‌آید:
$$n(d) = 20d^2 - 80d + 500 \quad ; \quad 2 \le d \le 14$$
ب) هر کدام از مقادیر زیر را مانند نمونه به دست آورده و آن‌ها را تفسیر کنید.
\begin{itemize}
\item $n(10) = 20(10)^2 - 80(10) + 500 = 1700$. \quad $(\text{تفسیر: یعنی تعداد باکتری‌های موجود در یک ماده غذایی، پس از خروج از یخچال با رسیدن به دمای } 10 \text{ درجه سانتی‌گراد به } 1700 \text{ افزایش یافته است.})$
\item $n(2) = \dots$
\item $n(3) = \dots$
\end{itemize}
حل تمرین فعالیت صفحه 11 ریاضی دوازدهم
### الف) محاسبه و تفسیر مقادیر $d(t)$
تابع دما: $d(t) = 4t + 2$
1. **محاسبه $d(1)$:**
$$d(1) = 4(1) + 2 = 6$$
**تفسیر:** دمای غذایی که **یک ساعت** از یخچال بیرون مانده است، برابر **$6$ درجه سانتی‌گراد** است.
2. **محاسبه $d(3)$:**
$$d(3) = 4(3) + 2 = 12 + 2 = 14$$
**تفسیر:** دمای غذایی که **سه ساعت** از یخچال بیرون مانده است، برابر **$14$ درجه سانتی‌گراد** است.
***
### ب) محاسبه و تفسیر مقادیر $n(d)$
تابع افزایش باکتری: $n(d) = 20d^2 - 80d + 500$
1. **محاسبه $n(2)$:**
$$n(2) = 20(2)^2 - 80(2) + 500 = 20(4) - 160 + 500 = 80 - 160 + 500 = 420$$
**تفسیر:** تعداد باکتری‌های موجود در یک ماده غذایی، پس از خروج از یخچال با رسیدن به دمای **$2$ درجه سانتی‌گراد** (دمای اولیه) به **$420$** افزایش یافته است.
2. **محاسبه $n(3)$:**
$$n(3) = 20(3)^2 - 80(3) + 500 = 20(9) - 240 + 500 = 180 - 240 + 500 = 440$$
**تفسیر:** تعداد باکتری‌های موجود در یک ماده غذایی، پس از خروج از یخچال با رسیدن به دمای **$3$ درجه سانتی‌گراد** به **$440$** افزایش یافته است.
پ) جدول روبه‌رو را کامل کنید و به کمک آن نمودار $t \to d(t) \to n(d(t))$ را تکمیل نمایید.
همان طور که دیدیم، می‌توان با داشتن زمان، دمای غذا را به دست آورد و با داشتن دما، تعداد باکتری‌ها قابل محاسبه است. آیا به نظر شما می‌توان با داشتن زمان و بدون داشتن دما، تعداد باکتری‌ها را به دست آورد؟
به بیان دیگر آیا می‌توان تابعی ساخت که $n$ را بر حسب $t$ مشخص کند؟
برای به دست آوردن چنین تابعی به صورت زیر عمل می‌کنیم:
$$n(d(t)) = n(4t + 2) = 20(4t + 2)^2 - 80(4t + 2) + 500 = \dots$$
ساده‌سازی را انجام دهید.
حل تمرین فعالیت صفحه 11 ریاضی دوازدهم
### پ) تکمیل جدول و نمودار
ابتدا مقادیر مجهول جدول را با استفاده از ضابطه‌های $d(t) = 4t + 2$ و $n(d) = 20d^2 - 80d + 500$ محاسبه می‌کنیم.
| $t$ (ساعت) | $d(t) = 4t + 2$ (دما) | $n(d(t))$ (افزایش باکتری) |
|:---:|:---:|:---:|
| $0$ | $d(0) = 4(0) + 2 = 2$ | $n(d(0)) = n(2) = 20(2)^2 - 80(2) + 500 = 420$ |
| $0.5$ | $d(0.5) = 4(0.5) + 2 = 4$ | $n(d(0.5)) = n(4) = 20(4)^2 - 80(4) + 500 = 320 - 320 + 500 = 500$ |
| $1$ | $d(1) = 4(1) + 2 = 6$ | $n(d(1)) = n(6) = 20(6)^2 - 80(6) + 500 = 720 - 480 + 500 = 740$ |
| $2$ | $d(2) = 4(2) + 2 = 10$ | $n(d(2)) = n(10) = 20(10)^2 - 80(10) + 500 = 2000 - 800 + 500 = 1700$ |
| $3$ | $d(3) = 4(3) + 2 = 14$ | $n(d(3)) = n(14) = 20(14)^2 - 80(14) + 500 = 3920 - 1120 + 500 = 3300$ |
***
### ترکیب توابع $n$ و $d$
**پاسخ به سوالات:** بله، می‌توان با داشتن زمان ($t$) و **بدون نیاز به محاسبه صریح دما** ($d$)، تعداد باکتری‌ها ($n$) را به دست آورد. این کار از طریق **ترکیب توابع** ($n \circ d$) انجام می‌شود.
**ساده‌سازی ضابطه $n(d(t))$:**
$$n(d(t)) = 20(4t + 2)^2 - 80(4t + 2) + 500$$
1. **باز کردن توان دوم و ضرب:**
$$20(16t^2 + 16t + 4) - 320t - 160 + 500$$
$$320t^2 + 320t + 80 - 320t - 160 + 500$$
2. **ساده‌سازی عبارت:**
$$320t^2 + (320t - 320t) + (80 - 160 + 500)$$
$$320t^2 + 0 + 420$$
**ضابطه تابع ترکیبی:**
$$ (n \circ d)(t) = 320t^2 + 420 \quad , \quad 0 \le t \le 3$$
