نمودار توابع زیر را رسم کنید و مشخص کنید در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی هستند.
الف) $f(x) = \cos (x - \frac{\pi}{2})$, $D_f = [0, 2\pi]$
ب) $g(x) = x + |x|$
پ) $t(x) = -x^3 - 1$
حل تمرین کار در کلاس صفحه 9 ریاضی دوازدهم
برای تعیین صعودی و نزولی بودن توابع، ابتدا نمودار آن‌ها را رسم کرده و سپس جهت تغییرات مقدار $y$ را با افزایش $x$ بررسی می‌کنیم.
***
### الف) $f(x) = \cos (x - \frac{\pi}{2})$, $D_f = [0, 2\pi]$
**1. ساده‌سازی ضابطه:**
از رابطه $\cos (\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin \alpha$ استفاده می‌کنیم. پس:
$$f(x) = \cos (x - \frac{\pi}{2}) = \sin x$$
**2. رسم نمودار:**
نمودار تابع $y = \sin x$ را در بازه $[0, 2\pi]$ رسم می‌کنیم.
* نقاط مهم: $f(0)=0$, $f(\frac{\pi}{2})=1$, $f(\pi)=0$, $f(\frac{3\pi}{2})=-1$, $f(2\pi)=0$.
**3. تعیین بازه‌های صعودی و نزولی (از روی نمودار $\sin x$):**
* **بازه‌های صعودی:** در این بازه‌ها نمودار رو به بالا حرکت می‌کند.
$$\text{صعودی: } [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$$
* **بازه‌های نزولی:** در این بازه‌ها نمودار رو به پایین حرکت می‌کند.
$$\text{نزولی: } [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$$
***
### ب) $g(x) = x + |x|$
**1. ضابطهٔ چند تکه‌ای:**
تابع قدر مطلق را به صورت چند ضابطه‌ای تعریف می‌کنیم:
$$|x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}$$
پس تابع $g(x)$ به صورت زیر در می‌آید:
$$g(x) = \begin{cases} x + x & x \ge 0 \\ x + (-x) & x < 0 \end{cases} \implies g(x) = \begin{cases} 2x & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$$
**2. رسم نمودار:**
* برای $x < 0$، نمودار خطی افقی $y=0$ است (روی محور $x$).
* برای $x \ge 0$، نمودار خطی $y=2x$ است که از مبدأ گذشته و شیب $2$ دارد.
**3. تعیین بازه‌های صعودی و نزولی:**
* **صعودی:** برای $x \ge 0$، تابع $g(x) = 2x$ صعودی است. برای $x < 0$، تابع $g(x) = 0$ ثابت است (هم صعودی و هم نزولی محسوب می‌شود).
$$\text{صعودی: } ,0$ تابع **ثابت** است (هم صعودی و هم نزولی).
$$\text{نزولی اکید: } \text{هیچ بازه‌ای}$$ (اگر صعودی/نزولی غیر اکید مورد نظر باشد: صعودی: $(-\infty, +\infty)$، نزولی: $(-\infty, 0]$).
***
### پ) $t(x) = -x^3 - 1$
**1. تبدیلات نمودار:**
این تابع از روی $y = x^3$ به دست می‌آید:
* **قرینه سازی:** $-x^3$ (قرینه نسبت به محور $x$).
* **انتقال عمودی:** $-1$ (یک واحد به سمت پایین).
**2. رسم نمودار:**
تابع $y = -x^3$ یک تابع نزولی است که از $(0, 0)$ می‌گذرد. تابع $t(x)$ نیز یک تابع نزولی است که نقطه عطف آن به $(0, -1)$ منتقل شده است.
* نقطه عطف: $(0, -1)$.
* نقاط کمکی: $t(-1) = -(-1)^3 - 1 = 1 - 1 = 0$ و $t(1) = -(1)^3 - 1 = -2$.
**3. تعیین بازه‌های صعودی و نزولی:**
تابع $y = -x^3$ یک تابع **اکیداً نزولی** در تمام دامنه $\mathbb{R}$ است.
* **بازه‌های صعودی:** تابع در هیچ بازه‌ای صعودی نیست.
$$\text{صعودی: } \text{هیچ بازه‌ای (\emptyset)}$$
* **بازه‌های نزولی:**
$$\text{نزولی: } (-\infty, +\infty) \text{ یا } \mathbb{R}$$
