حل تمرین صفحه 162 ریاضی یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۶۳ - تمرین ۱ این تمرین به بررسی اثر عملیات ریاضی بر **شاخص‌های پراکندگی** (انحراف معیار و ضریب تغییرات) می‌پردازد. **بررسی مورد اول:** **نادرست** است. اگر به تمام داده‌ها مقدار ثابتی اضافه یا از آن‌ها کم شود، انحراف معیار هیچ تغییری نمی‌کند. زیرا فاصله داده‌ها نسبت به یکدیگر و نسبت به میانگین ثابت می‌ماند. **بررسی مورد دوم:** **نادرست** است. ضریب تغییرات ($CV$) از رابطه $\frac{\sigma}{\bar{x}}$ به دست می‌آید. با اضافه شدن مقدار ثابت مثبت به داده‌ها، انحراف معیار (صورت کسر) ثابت می‌ماند اما میانگین (مخرج کسر) بزرگ‌تر می‌شود. بنابراین حاصل کسر یعنی ضریب تغییرات کوچک‌تر خواهد شد. **بررسی مورد سوم:** **درست** است. اگر تمام داده‌ها در مقدار ثابت و مثبت $c$ ضرب شوند، انحراف معیار نیز دقیقاً در همان عدد $c$ ضرب می‌شود. $$\sigma_{new} = c \times \sigma_{old}$$ **بررسی مورد چهارم:** **درست** است. در ضریب تغییرات، هم صورت ($\sigma$) و هم مخرج ($\bar{x}$) در عدد $c$ ضرب می‌شوند. این دو عدد $c$ در کسر با هم ساده شده و مقدار $CV$ بدون تغییر باقی می‌ماند. **نکته کلیدی:** عملیات جمع و تفریق بر انحراف معیار بی‌اثر است، اما ضرب و تقسیم مستقیماً بر آن اثر می‌گذارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۶۳ - تمرین ۲ برای پاسخ به این سوال، باید اثر گذشت زمان بر سن افراد را به عنوان اضافه شدن یک **مقدار ثابت** به داده‌ها در نظر بگیریم. ۱۰ سال دیگر، به سن تک‌تک دانش‌آموزان دقیقاً ۱۰ سال اضافه می‌شود. **تحلیل تغییر شاخص‌ها:** ۱. **انحراف معیار ($\sigma$):** همان‌طور که در تمرین قبل آموختیم، اضافه کردن مقدار ثابت به داده‌ها باعث تغییر انحراف معیار نمی‌شود. بنابراین انحراف معیار سن کلاس ثابت می‌ماند. ۲. **میانگین ($\bar{x}$):** میانگین سن کلاس ۱۰ واحد بزرگ‌تر می‌شود. $$\bar{x}_{new} = \bar{x}_{old} + 10$$ **محاسبه ضریب تغییرات ($CV$):** فرمول ضریب تغییرات برابر است با: $$CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$$ در این کسر، صورت ثابت مانده و مخرج بزرگ‌تر شده است. وقتی مخرج یک کسر با صورت ثابت بزرگ شود، مقدار کل کسر **کاهش** می‌یابد. **نتیجه‌گیری:** ضریب تغییرات سن دانش‌آموزان ۱۰ سال دیگر **کاهش می‌یابد**.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۶۳ - تمرین ۳ برای مقایسه عادلانه تفاوت‌ها در دو جامعه با مقیاس‌های متفاوت (حقوق‌های کم و زیاد)، باید از **ضریب تغییرات ($CV$)** استفاده کنیم. صرفاً نگاه کردن به اختلاف ریالی ممکن است گمراه‌کننده باشد. **محاسبه برای شرکت $A$ (علیرضا و آرمان):** میانگین حقوق: $$\bar{x}_A = \frac{1,200,000 + 1,600,000}{2} = 1,400,000$$ انحراف معیار (نیمی از اختلاف برای دو داده): $$\sigma_A = \frac{1,600,000 - 1,200,000}{2} = 200,000$$ ضریب تغییرات: $$CV_A = \frac{200,000}{1,400,000} \simeq 0.142$$ **محاسبه برای شرکت $B$ (محمد و بهروز):** میانگین حقوق: $$\bar{x}_B = \frac{2,500,000 + 3,000,000}{2} = 2,750,000$$ انحراف معیار: $$\sigma_B = \frac{3,000,000 - 2,500,000}{2} = 250,000$$ ضریب تغییرات: $$CV_B = \frac{250,000}{2,750,000} \simeq 0.090$$ **تحلیل و نتیجه‌گیری:** اگرچه اختلاف حقوق در شرکت $B$ (۵۰۰ هزار تومان) از نظر عددی بیشتر از شرکت $A$ (۴۰۰ هزار تومان) است، اما ضریب تغییرات در **شرکت $A$** بزرگتر است. بزرگتر بودن ضریب تغییرات یعنی پراکندگی نسبت به میانگین در آنجا شدیدتر است. بنابراین **بی‌عدالتی در شرکت $A$ بیشتر است**، زیرا تفاوت حقوق نسبت به سطح کلی دریافتی کارمندان آن شرکت محسوس‌تر و عمیق‌تر است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۶۳ - تمرین ۴ این تمرین به ما نشان می‌دهد که چگونه **پراکندگی داده‌ها** بر تصمیم‌گیری‌های گروهی اثر می‌گذارد. **بخش الف: میانگین و میانه** برای دوستان مینا: میانگین: $$\bar{x} = \frac{23+24+25+26+27}{5} = 25$$ میانه: عدد وسط در داده‌های مرتب برابر **۲۵** است. برای دوستان مریم: میانگین: $$\bar{y} = \frac{15+20+25+30+35}{5} = 25$$ میانه: عدد وسط در داده‌های مرتب برابر **۲۵** است. هر دو گروه میانگین و میانه یکسانی دارند. **بخش ب: انحراف معیار** برای مینا: واریانس برابر است با مجموع مجذور اختلافات (۴+۱+۰+۱+۴) تقسیم بر تعداد (۵) که می‌شود ۲. انحراف معیار برابر **$\sqrt{2} \simeq 1.41$** است. برای مریم: واریانس برابر است با مجموع مجذور اختلافات (۱۰۰+۲۵+۰+۲۵+۱۰۰) تقسیم بر ۵ که می‌شود ۵۰. انحراف معیار برابر **$\sqrt{50} \simeq 7.07$** است. **بخش پ: تحلیل** برنامه‌ریزی برای **مینا** ساده‌تر است. زیرا انحراف معیار پول توجیبی دوستان او بسیار کمتر است و وضعیت مالی آن‌ها به هم نزدیک‌تر (همگن‌تر) است. وقتی تفاوت‌ها کم باشد، توافق بر سر هزینه‌های سفر بسیار راحت‌تر صورت می‌گیرد. **جمع‌بندی:** هرچه انحراف معیار کمتر باشد، جامعه یکدست‌تر و تصمیم‌گیری جمعی آسان‌تر است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۶۳ - تمرین ۵ در این تمرین باید شاخص‌های آماری را برای داده‌های واقعی نرخ تورم در یک دوره ۱۱ ساله محاسبه کنیم. **گام اول: میانگین ($\bar{x}$)** مجموع داده‌ها را محاسبه می‌کنیم: $$10.4 + 11.9 + 18.4 + 25.4 + 10.8 + 12.4 + 21.5 + 30.5 + 34.7 + 15.6 + 11.9 = 203.5$$ میانگین: $$\bar{x} = \frac{203.5}{11} = 18.5$$ **گام دوم: میانه** داده‌ها را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم: $10.4, 10.8, 11.9, 11.9, 12.4, \mathbf{15.6}, 18.4, 21.5, 25.4, 30.5, 34.7$ چون ۱۱ داده داریم، داده ششم یعنی **۱۵/۶** میانه است. **گام سوم: انحراف معیار ($\sigma$)** ابتدا واریانس را با محاسبه مجموع مجذور اختلاف هر داده از میانگین ($18.5$) به دست می‌آوریم: $$\sum (x_i - 18.5)^2 \simeq 65.61 + 43.56 + 0.01 + 47.61 + 59.29 + 37.21 + 9 + 144 + 262.44 + 8.41 + 43.56 = 720.7$$ واریانس ($S^2$): $$\frac{720.7}{11} \simeq 65.52$$ انحراف معیار: $$\sigma = \sqrt{65.52} \simeq 8.09$$ **نتیجه:** نرخ تورم در این سال‌ها نوسانات نسبتاً زیادی داشته است که منجر به انحراف معیار ۸ واحدی شده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۶۳ - تمرین ۶ این مسئله ترکیبی از **تبدیل واحد** و **محاسبات آماری** است. **بخش الف: میانگین استان مرکزی** $$\bar{x} = \frac{1708 + 1775 + 1830 + 1920}{4} = \frac{7233}{4} = 1808.25 \text{ متر}$$ **بخش ب: انحراف معیار استان مرکزی** ابتدا مجذور اختلافات از ۱۸۰۸.۲۵ را حساب می‌کنیم: $(1708-1808.25)^2 = 10050.06$ $(1775-1808.25)^2 = 1105.56$ $(1830-1808.25)^2 = 473.06$ $(1920-1808.25)^2 = 12488.06$ واریانس: $$\frac{10050.06+1105.56+473.06+12488.06}{4} = 6029.18$$ انحراف معیار: $$\sigma = \sqrt{6029.18} \simeq 77.65 \text{ متر}$$ **بخش پ: مقایسه دو استان** ابتدا داده‌های استان کهگیلویه را با تقسیم بر ۳.۲۸۱ به متر تبدیل می‌کنیم: یاسوج: $6135.47 \div 3.281 = 1870 \text{ m}$ دهدشت: $3248.19 \div 3.281 = 990 \text{ m}$ دنا: $7218.20 \div 3.281 = 2200 \text{ m}$ میانگین کهگیلویه: $$\frac{1870 + 990 + 2200}{3} \simeq 1686.6 \text{ متر}$$ **نتیجه:** میانگین ارتفاع شهرهای مورد نظر در **استان مرکزی** بیشتر از شهرهای نمونه در استان کهگیلویه و بویراحمد است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۶۳ - تمرین ۴ در این تمرین به مقایسه آماری دو مجموعه داده می‌پردازیم تا درک کنیم چگونه **شاخص‌های پراکندگی** بر تصمیم‌گیری‌های واقعی تأثیر می‌گذارند. **بخش الف: محاسبه میانگین و میانه** برای دوستان مینا: میانگین: $\bar{x} = \frac{23+24+25+26+27}{5} = \frac{125}{5} = 25$ میانه: داده‌ها مرتب هستند و عدد وسط **۲۵** است. برای دوستان مریم: میانگین: $\bar{y} = \frac{15+20+25+30+35}{5} = \frac{125}{5} = 25$ میانه: عدد وسط در داده‌های مرتب شده **۲۵** است. مشاهده می‌کنیم که هر دو شاخص مرکزگرا برای هر دو نفر کاملاً یکسان هستند. **بخش ب: محاسبه انحراف معیار ($\sigma$)** برای مینا: ابتدا واریانس ($S^2$) را حساب می‌کنیم: $S^2 = \frac{(23-25)^2 + (24-25)^2 + (25-25)^2 + (26-25)^2 + (27-25)^2}{5}$ $S^2 = \frac{4+1+0+1+4}{5} = \frac{10}{5} = 2$ انحراف معیار: $\sigma = \sqrt{2} \simeq 1.41$ برای مریم: $S^2 = \frac{(15-25)^2 + (20-25)^2 + (25-25)^2 + (30-25)^2 + (35-25)^2}{5}$ $S^2 = \frac{100+25+0+25+100}{5} = \frac{250}{5} = 50$ انحراف معیار: $\sigma = \sqrt{50} \simeq 7.07$ **بخش پ: تحلیل و نتیجه‌گیری** برنامه‌ریزی برای **مینا** ساده‌تر است. چرا که انحراف معیار دوستان مینا بسیار کمتر است ($1.41$ در مقابل $7.07$). این یعنی داده‌های دوستان مینا **همگن‌تر** هستند و پول توجیبی آن‌ها به هم نزدیک است. در مقابل، دوستان مریم اختلاف سطح مالی زیادی دارند که هماهنگی برای هزینه سفر را دشوار می‌کند. **نکته کلیدی:** هر چه انحراف معیار کمتر باشد، پیش‌بینی و برنامه‌ریزی دقیق‌تر خواهد بود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۶۳ - تمرین ۵ این مسئله شامل محاسبات گسترده روی داده‌های واقعی نرخ تورم است. **گام اول: محاسبه میانگین ($\bar{x}$)** ابتدا مجموع داده‌ها را محاسبه می‌کنیم: $\sum x = 10.4 + 11.9 + 18.4 + 25.4 + 10.8 + 12.4 + 21.5 + 30.5 + 34.7 + 15.6 + 11.9 = 203.5$ تعداد داده‌ها $n = 11$ است. $\bar{x} = \frac{203.5}{11} = 18.5$ **گام دوم: محاسبه میانه** داده‌ها را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم: $10.4 , 10.8 , 11.9 , 11.9 , 12.4 , \mathbf{15.6} , 18.4 , 21.5 , 25.4 , 30.5 , 34.7$ چون ۱۱ داده داریم، داده ششم (عدد وسط) یعنی **۱۵/۶** میانه است. **گام سوم: محاسبه انحراف معیار ($\sigma$)** ابتدا مجذور اختلاف هر داده از میانگین ($18.5$) را حساب کرده و جمع می‌زنیم: $\sum (x_i - \bar{x})^2 = (10.4-18.5)^2 + ... + (11.9-18.5)^2$ $\\ \approx 65.61+59.29+43.56+47.61+37.21+8.41+0.01+9+144+262.44+43.56 = 720.7$ واریانس: $S^2 = \frac{720.7}{11} \simeq 65.51$ انحراف معیار: $\sigma = \sqrt{65.51} \simeq 8.09$ **نکته:** نرخ تورم در این بازه زمانی نوسانات زیادی داشته که منجر به انحراف معیار نسبتاً بالایی شده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۶۳ - تمرین ۶ در این مسئله باید واحدها را یکسان‌سازی کرده و سپس مقایسه کنیم. **بخش الف: میانگین استان مرکزی (متر)** $$\bar{x} = \frac{1708 + 1775 + 1830 + 1920}{4} = \frac{7233}{4} = 1808.25 \text{ m}$$ **بخش ب: انحراف معیار استان مرکزی** ۱. اختلاف از میانگین ($1808.25$): $-100.25 , -33.25 , 21.75 , 111.75$ ۲. مجذور اختلافات: $10050.06 , 1105.56 , 473.06 , 12488.06$ ۳. واریانس: $S^2 = \frac{24116.74}{4} = 6029.185$ ۴. انحراف معیار: $\sigma = \sqrt{6029.185} \simeq 77.65 \text{ m}$ **بخش پ: مقایسه دو استان** ابتدا داده‌های استان کهگیلویه را به متر تبدیل می‌کنیم (تقسیم بر $3.281$): یاسوج: $6135.47 \div 3.281 \simeq 1870 \text{ m}$ دهدشت: $3248.19 \div 3.281 \simeq 990 \text{ m}$ دنا: $7218.20 \div 3.281 \simeq 2200 \text{ m}$ میانگین کهگیلویه: $\frac{1870+990+2200}{3} = \frac{5060}{3} \simeq 1686.6 \text{ m}$ **نتیجه:** میانگین ارتفاع شهرهای مورد نظر در **استان مرکزی** ($1808.25$) بیشتر از شهرهای نمونه در استان کهگیلویه ($1686.6$) است.