ریاضی یازدهم صفحه 160 - تمرین 2
2 فرض کنیم جرم دو نوزاد به ترتیب $x_1 = 1/5$ کیلوگرم و $x_2 = 2/5$ کیلوگرم و جرم دو فرد چهل ساله به ترتیب $y_1 = 80$ کیلوگرم و $y_2 = 81$ کیلوگرم است.
الف) تفاوت جرم دو نوزاد چقدر است؟
ب) تفاوت جرم دو فرد چهل ساله چقدر است؟
پ) انحراف معیارهای هر دو دسته را به دست آورید.
ت) فکر میکنید تفاوت جرمها در کدام دسته زیادتر به نظر میرسد؟
ث) ضریب تغییرات هر دو دسته را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 160 - تمرین 2
این تمرین به ما کمک میکند تا تفاوت بین **شاخصهای پراکندگی مطلق** (مانند دامنه تغییرات و انحراف معیار) و **شاخصهای پراکندگی نسبی** (مانند ضریب تغییرات) را درک کنیم.
**بخش الف: تفاوت جرم نوزادان**
تفاضل جرم دو نوزاد برابر است با:
$$2.5 - 1.5 = 1 \text{ kg}$$
**بخش ب: تفاوت جرم افراد بزرگسال**
تفاضل جرم دو فرد چهل ساله برابر است با:
$$81 - 80 = 1 \text{ kg}$$
**بخش پ: محاسبه انحراف معیار ($\sigma$)**
برای دو داده، انحراف معیار نیمی از اختلاف آنهاست.
برای نوزادان ($x$):
$$\bar{x} = \frac{1.5 + 2.5}{2} = 2$$
$$\sigma_x = \sqrt{\frac{(1.5-2)^2 + (2.5-2)^2}{2}} = \sqrt{\frac{0.25 + 0.25}{2}} = \sqrt{0.25} = 0.5$$
برای بزرگسالان ($y$):
$$\bar{y} = \frac{80 + 81}{2} = 80.5$$
$$\sigma_y = \sqrt{\frac{(80-80.5)^2 + (81-80.5)^2}{2}} = \sqrt{\frac{0.25 + 0.25}{2}} = 0.5$$
مشاهده میکنیم انحراف معیار هر دو دسته برابر با **0.5** است.
**بخش ت: تحلیل کیفی**
اگرچه تفاوت عددی هر دو دسته ۱ کیلوگرم است، اما این ۱ کیلوگرم نسبت به وزن ناچیز نوزاد، بسیار چشمگیر است؛ در حالی که نسبت به وزن ۸۰ کیلوگرمی بزرگسالان، تغییر ناچیزی به شمار میآید.
بنابراین تفاوت در **دسته نوزادان** زیادتر به نظر میرسد.
**بخش ث: محاسبه ضریب تغییرات ($CV$)**
فرمول ضریب تغییرات عبارت است از: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$
برای نوزادان:
$$CV_x = \frac{0.5}{2} = 0.25$$
برای بزرگسالان:
$$CV_y = \frac{0.5}{80.5} \simeq 0.0062$$
**نتیجهگیری نهایی:**
همانطور که دیدید، با اینکه انحراف معیارها برابر بود، اما **ضریب تغییرات** در نوزادان بسیار بزرگتر است.
این شاخص به خوبی نشان میدهد که پراکندگی نسبت به میانگین در کدام گروه اهمیت بیشتری دارد.
