|
ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 1
1 با توجه به توابع f و g و h با ضابطههای داده شده، به سؤالات پاسخ دهید.
$f(x) = 2x + 1$
$g(x) = 2x + 1 \quad x \neq 2$
$h(x) = \begin{cases} 2 + x & x \neq 2 \\ 3 & x = 2 \end{cases}$
الف) مقادیر $f(2)$ ، $h(2)$ و $g(2)$ را در صورت وجود به دست آورید.
ب) حدود زیر را در صورت وجود به دست آورید :
$\lim_{x \to 2} f(x) =$
$\lim_{x \to 2} g(x) =$
$\lim_{x \to 2} h(x) =$
پ) کدام تابع در $x=2$ پیوسته است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 1
این تمرین برای درک عمیق تفاوت بین **مقدار تابع**، **حد تابع** و مفهوم **پیوستگی** طراحی شده است.
**گام اول: محاسبه مقادیر تابع (بخش الف)**
برای $f(2)$: با جایگذاری مستقیم در ضابطه داریم $2(2) + 1 = 5$.
برای $g(2)$: چون در ضابطه ذکر شده $x \neq 2$، تابع در این نقطه **تعریف نشده** است.
برای $h(2)$: طبق ضابطه دوم، مقدار تابع در نقطه ۲ برابر با **۳** است.
**گام دوم: محاسبه حدها (بخش ب)**
در محاسبه حد، رفتار تابع در **همسایگی** نقطه مهم است.
برای تابع f: $\lim_{x \to 2} (2x + 1) = 2(2) + 1 = 5$.
برای تابع g: با اینکه در ۲ تعریف نشده، اما در نزدیکی آن ضابطه $2x+1$ حاکم است، پس حد برابر **۵** است.
برای تابع h: در نزدیکی ۲ ضابطه $2+x$ حاکم است، پس $\lim_{x \to 2} (2+x) = 2+2 = 4$.
**گام سوم: بررسی پیوستگی (بخش پ)**
شرط **پیوستگی** در یک نقطه این است که حد تابع موجود و با مقدار تابع در آن نقطه برابر باشد.
در تابع f، مقدار حد (۵) با مقدار تابع (۵) برابر است، پس f در ۲ **پیوسته** است.
در تابع g، مقدار تابع وجود ندارد، پس **ناپیوسته** است.
در تابع h، مقدار حد (۴) با مقدار تابع (۳) برابر نیست، پس **ناپیوسته** است.
**نتیجهگیری:**
فقط تابع **f** در نقطه ۲ پیوسته است.
ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 2
2 نمودار تابع $f$ را رسم کنید. $f$ در چه نقاطی پیوسته و در چه نقاطی ناپیوسته است؟
$f(x) = \begin{cases} x - 3 & x < 2 \\ -2 & x = 2 \\ -x + 2 & x > 2 \end{cases}$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 2
برای بررسی پیوستگی توابع چندضابطهای، باید رفتار تابع را در **نقاط مرزی** (در اینجا عدد ۲) تحلیل کنیم.
**گام ۱: رسم نمودار**
- برای $x < 2$: نیمخطی با شیب ۱ که به نقطه توخالی $(2, -1)$ ختم میشود.
- برای $x = 2$: یک نقطه پر در مختصات $(2, -2)$.
- برای $x > 2$: نیمخطی با شیب -۱ که از نقطه توخالی $(2, 0)$ شروع میشود.
**گام ۲: بررسی حدهای یکطرفه در نقطه مرزی**
حد چپ: $\lim_{x \to 2^-} (x - 3) = 2 - 3 = -1$.
حد راست: $\lim_{x \to 2^+} (-x + 2) = -2 + 2 = 0$.
**گام ۳: نتیجهگیری نهایی**
چون حد چپ و راست در $x=2$ برابر نیستند، حد کلی وجود ندارد و تابع در این نقطه **ناپیوسته** است.
در سایر نقاط (بازه های باز)، چون ضابطهها چندجملهای هستند، تابع **پیوسته** است.
ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 3
3 توابع $g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ و $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & x \neq 3 \\ 6 & x = 3 \end{cases}$ را در نظر میگیریم. پیوستگی این تابعها را در $x=3$ بررسی کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 3
این تمرین به بررسی مفهوم **رفع ابهام** برای تعیین پیوستگی میپردازد.
**بررسی تابع g:**
این تابع در $x=3$ مخرجش صفر میشود، پس در این نقطه **تعریف نشده** است.
طبق تعریف، چون مقدار تابع در نقطه وجود ندارد، تابع g در نقطه ۳ **ناپیوسته** است.
**بررسی تابع f:**
۱. مقدار تابع: طبق ضابطه $f(3) = 6$.
۲. محاسبه حد:
$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6$$
۳. مقایسه: چون حد (۶) با مقدار تابع (۶) برابر است، تابع f در نقطه ۳ **پیوسته** میباشد.
**نکته آموزشی:**
توابعی مانند f که با تعریف یک مقدار خاص در نقطه انفصال، پیوسته میشوند، دارای **ناپیوستگی رفعشدنی** هستند.
ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 4
4 با توجه به نمودار تابع $f(x) = [x]$، تابع در چه نقاطی پیوسته و در چه نقاطی ناپیوسته است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 4
تابع **جزء صحیح** (براکت) یکی از مثالهای کلاسیک برای توابع پلهای و ناپیوسته است.
**تحلیل هندسی و جبری:**
در هر نقطه **صحیح** (مانند ۱، ۲، ۰، -۱ و...)، نمودار تابع دچار یک پرش عمودی به اندازه یک واحد میشود.
در این نقاط، حد چپ همیشه یک واحد کمتر از حد راست است، بنابراین حد وجود ندارد.
**نتیجهگیری:**
- تابع $f(x) = [x]$ در تمام **نقاط صحیح** (مجموعه $\mathbb{Z}$) **ناپیوسته** است.
- این تابع در تمام **نقاط غیرصحیح** (اعداد اعشاری) **پیوسته** است، زیرا در اطراف این نقاط نمودار به صورت خطی افقی و بدون بریدگی است.
ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 5
5 پیوستگی تابع $f(x) = \begin{cases} -2x + 2 & x \le 0 \\ x^2 + 2 & x > 0 \end{cases}$ را در نقطه $x=0$ بررسی کنید. پیوستگی تابع در نقاط دیگر چگونه است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 5
برای بررسی کامل پیوستگی، هم نقطه مرزی و هم سایر نقاط دامنه را بررسی میکنیم.
**گام ۱: بررسی در نقطه مرزی (صفر)**
- مقدار تابع: $f(0) = -2(0) + 2 = 2$.
- حد چپ: $\lim_{x \to 0^-} (-2x + 2) = 2$.
- حد راست: $\lim_{x \to 0^+} (x^2 + 2) = 0^2 + 2 = 2$.
چون حد چپ، حد راست و مقدار تابع همگی برابر با ۲ هستند، تابع در نقطه صفر **پیوسته** است.
**گام ۲: بررسی سایر نقاط**
- برای $x < 0$: ضابطه یک تابع خطی (چندجملهای) است که همواره پیوسته است.
- برای $x > 0$: ضابطه یک تابع سهمی (چندجملهای) است که همواره پیوسته است.
**نتیجه نهایی:**
تابع f در تمام طول محور اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) **پیوسته** است.
ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 6
6 تابعی مثال بزنید که حد آن در نقطه $x=1$ مساوی $-1$ باشد؛ ولی تابع در ۱ پیوسته نباشد. نمودار این تابع را رسم کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 6
برای حل این تمرین باید شرایطی ایجاد کنیم که یا تابع در ۱ تعریف نشده باشد و یا مقدار آن با حد متفاوت باشد.
**ارائه ضابطه پیشنهادی:**
$$f(x) = \begin{cases} -1 & x \neq 1 \\ 2 & x = 1 \end{cases}$$
**تحلیل شرایط:**
- حد تابع: وقتی $x$ به ۱ نزدیک میشود، طبق ضابطه اول، مقدار به **$-1$** نزدیک میشود. پس حد برابر $-1$ است.
- پیوستگی: مقدار تابع در نقطه ۱ برابر با **۲** تعریف شده است.
- چون حد ($-1$) با مقدار تابع (۲) برابر نیست، تابع در این نقطه **ناپیوسته** است.
**رسم نمودار:**
نمودار شامل یک خط افقی در عرض $-1$ است که در طول ۱ یک **نقطه توخالی** دارد، و در عوض در مختصات $(1, 2)$ یک **نقطه پر** مجزا دیده میشود.
ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 7
7 کدام یک از توابع زیر در $x=1$ پیوسته است؟
[تصویر شامل چهار نمودار f, g, h, k است.]
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 7
با بررسی بصری نمودارها در نقطه $x=1$، وضعیت پیوستگی را مشخص میکنیم:
- **نمودار f:** در نقطه ۱ دارای یک بریدگی (پرش) است. حد چپ و راست برابر نیستند، پس **ناپیوسته** است.
- **نمودار g:** در نقطه ۱ دارای پرش است. حد وجود ندارد، پس **ناپیوسته** است.
- **نمودار h:** در نقطه ۱ دارای یک نقطه توخالی روی منحنی و یک نقطه پر در بالای آن است. حد وجود دارد اما با مقدار تابع برابر نیست، پس **ناپیوسته** است.
- **نمودار k:** نمودار در نقطه ۱ دچار شکستگی شده و دو بخش آن به هم نرسیدهاند (یک بخش از دامنه حذف شده است). چون در همسایگی ۱ تعریف نشده یا حد ندارد، **ناپیوسته** است.
**نتیجه:** در تصاویر ارائه شده، هیچکدام از توابع در نقطه ۱ پیوسته به نظر نمیرسند (مگر اینکه نموداری با خط صاف و بدون حفره در نقطه ۱ وجود داشته باشد که در این برش تصویر دیده نمیشود).
ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 8
8 در مواقعی تجویز دارو برای کودکان بر اساس جرم کودک انجام میگیرد. یکی از این روشها استفاده از تابع $f(t)$ است که در آن $t$ سن کودک بر حسب سال است. به طور مثال جرم یک کودک ۶ ماهه به کمک این تابع چنین محاسبه میشود :
$f(t) = \begin{cases} 6t + 4 & 0 \le t < 1 \\ 2t + 10 & 1 \le t \le 10 \end{cases}$
الف) $f(2)$ و $f(5)$ را بیابید.
ب) آیا f در بازه $[0, 10]$ پیوسته است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 142 - تمرین 8
این مسئله کاربرد پیوستگی در **مدلسازی واقعی** (پزشکی) را نشان میدهد.
**بخش الف: محاسبه مقادیر**
برای سنهای بالاتر از ۱ سال، از ضابطه دوم استفاده میکنیم:
$f(2) = 2(2) + 10 = 14$ کیلوگرم.
$f(5) = 2(5) + 10 = 20$ کیلوگرم.
**بخش ب: بررسی پیوستگی**
تنها نقطه بحرانی برای ناپیوستگی، سن ۱ سالگی (نقطه مرزی) است.
۱. حد چپ (نزدیک شدن به یک سالگی از ماههای قبل): $\lim_{t \to 1^-} (6t + 4) = 6(1) + 4 = 10$.
۲. حد راست و مقدار تابع (شروع از یک سالگی): $f(1) = 2(1) + 10 = 12$.
چون حد چپ (۱۰) با حد راست و مقدار تابع (۱۲) برابر نیست، تابع در سن ۱ سالگی **ناپیوسته** است.
بنابراین تابع f در کل بازه $[0, 10]$ **پیوسته نیست**.
**تحلیل مفهومی:** این مدل نشان میدهد که طبق این فرمول، وزن کودک در لحظه تولد یک سالگی ناگهان ۲ واحد جهش میکند که در واقعیت فیزیکی غیرممکن است.
