ریاضی یازدهم صفحه 134 - تمرین 5
5 با استفاده از نمودار $f(x) = \sin x$ و $g(x) = \cos x$ حدهای زیر را بیابید.
الف) $\lim_{x \to \pi/2} \sin x$
ب) $\lim_{x \to -\pi} \sin x$
پ) $\lim_{x \to \pi/3^-} \sin x$
ت) $\lim_{x \to \pi^+} \sin x$
ث) $\lim_{x \to 0} \cos x$
ج) $\lim_{x \to \pi/4^-} \cos x$
چ) $\lim_{x \to -\pi/2} \cos x$
ح) $\lim_{x \to \pi/3^+} \cos x$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 134 - تمرین 5
توابع مثلثاتی $\sin x$ و $\cos x$ توابعی پیوسته در تمام دامنه خود هستند.
این یعنی برای هر نقطه $a$، مقدار حد با مقدار تابع در آن نقطه برابر است.
**حل بخشهای سینوس:**
**الف) $\lim_{x \to \pi/2} \sin x$:**
با توجه به نمودار، در نقطه $90^\circ$ عرض تابع برابر **1** است.
**ب) $\lim_{x \to -\pi} \sin x$:**
در نقطه $-\pi$ نمودار سینوس محور $x$ را قطع میکند، پس حد برابر **0** است.
**پ) $\lim_{x \to \pi/3^-} \sin x$:**
چون تابع پیوسته است، حد چپ با خود مقدار تابع در $60^\circ$ برابر است: **$\frac{\sqrt{3}}{2}$**.
**ت) $\lim_{x \to \pi^+} \sin x$:**
در نقطه $\pi$ مقدار سینوس برابر **0** است.
**حل بخشهای کسینوس:**
**ث) $\lim_{x \to 0} \cos x$:**
در مبدأ، نمودار کسینوس در بالاترین نقطه خود یعنی عرض **1** قرار دارد.
**ج) $\lim_{x \to \pi/4^-} \cos x$:**
مقدار کسینوس در $45^\circ$ برابر **$\frac{\sqrt{2}}{2}$** است.
**چ) $\lim_{x \to -\pi/2} \cos x$:**
در نقطه $-90^\circ$ مقدار کسینوس برابر **0** است.
**ح) $\lim_{x \to \pi/3^+} \cos x$:**
مقدار کسینوس در $60^\circ$ برابر **$0.5$** یا **$\frac{1}{2}$** است.
**جمعبندی آموزشی:**
در توابع پیوسته مثلثاتی، حد چپ، حد راست و مقدار تابع همگی با هم یکسان هستند.
