ریاضی یازدهم صفحه 125 - فعالیت
نمودار توابع زیر رسم شدهاند:
$f(x) = 2x - 1$
$g(x) = \begin{cases} 2x - 1 & x \neq 4 \\ 5 & x = 4 \end{cases}$
$h(x) = 2x - 1 \quad (x \neq 4)$
هر نمودار به کدام تابع تعلق دارد؟ آیا این سه تابع با یکدیگر برابرند؟ دامنه و برد این سه تابع را معلوم کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 125 - فعالیت
در این فعالیت آموزشی، هدف درک عمیق تفاوت مفهوم **تابع** و **حد** و همچنین شرایط **تساوی دو تابع** از طریق بررسی دامنهها و نمودارها است.
**گام اول: نظیر کردن نمودارها**
نمودار سمت چپ (آبی): این نمودار یک خط مستقیم با یک **نقطه توخالی** در $x=4$ است و هیچ نقطه دیگری در آن طول ندارد.
بنابراین این نمودار متعلق به تابع $h(x)$ است زیرا در ضابطه آن قید شده $x \neq 4$.
نمودار وسط (صورتی): این یک خط مستقیم **پیوسته** و کامل است.
بنابراین متعلق به تابع $f(x)$ است که برای تمام اعداد حقیقی تعریف شده است.
نمودار سمت راست (سبز): این نمودار یک خط با **نقطه توخالی** در طول ۴ است، اما یک **نقطه پر** مجزا در مختصات $(4, 5)$ دارد.
بنابراین متعلق به تابع $g(x)$ است که در $x=4$ مقدار مشخص ۵ را اختیار کرده است.
**گام دوم: بررسی تساوی توابع**
خیر، این سه تابع با یکدیگر **برابر نیستند**.
طبق تعریف، دو تابع زمانی برابرند که اولاً **دامنه** یکسان داشته باشند و ثانیاً به ازای تمام نقاط دامنه، خروجیهای یکسان تولید کنند.
تابع $f$ با دو تابع دیگر همدامنه نیست و توابع $g$ و $h$ نیز در مقدار ورودی $x=4$ با هم تفاوت دارند.
**گام سوم: تعیین دامنه و برد**
برای تابع $f$:
دامنه: $D_f = \mathbb{R}$
برد: $R_f = \mathbb{R}$
برای تابع $g$:
دامنه: $D_g = \mathbb{R}$
برد: $R_g = \mathbb{R}$ (زیرا تمام مقادیر $y$ پوشش داده شدهاند؛ مقدار ۷ که حذف شده بود، توسط نقطه $y=5$ جایگزین نمیشود اما کل خط به جز ۷ و نقطه ۵ پوشش دارند که در نهایت کل مجموعه اعداد حقیقی را میسازند).
برای تابع $h$:
دامنه: $D_h = \mathbb{R} - \{4\}$
برد: $R_h = \mathbb{R} - \{7\}$ (زیرا به ازای ورودی ۴، خروجی ۷ تولید نمیشود).
**جمعبندی آموزشی:**
تساوی ضابطه به تنهایی برای تساوی دو تابع کافی نیست و حتماً باید به **محدودیتهای دامنه** توجه کرد.
ریاضی یازدهم صفحه 125 - فعالیت (ادامه)
میخواهیم رفتار این سه تابع را در نزدیکی نقطه ۴ بررسی کنیم. ابتدا جدول را کامل کنید.
| $x$ | $3$ | $3/5$ | $3/8$ | $3/9$ | $3/99$ | $\rightarrow 4 \leftarrow$ | $4/01$ | $4/1$ | $4/2$ | $4/5$ | $5$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f(x)$ | $5$ | $6$ | $6/6$ | | | $\rightarrow 7 \leftarrow$ | | | $7/4$ | $8$ | $9$ |
| $g(x)$ | | | | | | $\rightarrow \dots \leftarrow$ | | | | | |
| $h(x)$ | | | | | | $\rightarrow \dots \leftarrow$ | | | | | |
مقادیر $f, g$ و $h$ را به هر اندازه که بخواهیم میتوانیم به عدد ... نزدیک کنیم؛ به شرط آنکه مقادیر $x$ به قدر کافی به عدد ... نزدیک شود.
حد هر سه تابع وقتی که $x \rightarrow 4$ برابر ... است.
$\lim_{x \to 4} f(x) =$
$\lim_{x \to 4} g(x) =$
$\lim_{x \to 4} h(x) =$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 125 - فعالیت (ادامه)
این بخش به معرفی مفهوم **حد** میپردازد و نشان میدهد که حد یک تابع در یک نقطه، هیچ ارتباطی به مقدار خود تابع در آن نقطه ندارد.
**گام اول: تکمیل جدول**
برای هر سه تابع، ضابطه در نزدیکی عدد ۴ (یعنی وقتی $x \neq 4$) یکسان و برابر $2x-1$ است.
بنابراین مقادیر جدول برای هر سه سطر کاملاً مشابه سطر اول خواهد بود:
برای $x=3/9$: $y = 2(3/9) - 1 = 7/8 - 1 = 6/8$
برای $x=3/99$: $y = 2(3/99) - 1 = 7/98 - 1 = 6/98$
برای $x=4/01$: $y = 2(4/01) - 1 = 8/02 - 1 = 7/02$
برای $x=4/1$: $y = 2(4/1) - 1 = 8/2 - 1 = 7/2$
**گام دوم: تحلیل مفهوم حد**
با توجه به جدول، مشاهده میکنیم که وقتی مقادیر $x$ از سمت چپ و راست به عدد **۴** نزدیک میشوند، مقادیر هر سه تابع به عدد **۷** نزدیک میشوند.
این یعنی مقادیر تابع را میتوانیم به هر اندازه دلخواه به عدد **۷** نزدیک کنیم، به شرطی که $x$ به قدر کافی به **۴** نزدیک شود (اما خود ۴ نشود).
**گام سوم: نتیجهگیری نهایی (نوشتن حدها)**
نکته بسیار مهم اینجاست که در تابع $h$ مقدار تعریف نشده است و در تابع $g$ مقدار برابر ۵ است، اما **حد** هر سه آنها در نقطه ۴ یکسان است.
$$\lim_{x \to 4} f(x) = 7$$
$$\lim_{x \to 4} g(x) = 7$$
$$\lim_{x \to 4} h(x) = 7$$
**نکته کلیدی:**
در محاسبه حد، ما با **رفتار تابع در همسایگی نقطه** کار داریم، نه با خود نقطه.
بنابراین توخالی یا پر بودن نقطه روی مقدار حد تاثیری ندارد.
**جمعبندی آموزشی:**
دانشآموز یاد میگیرد که برای یافتن حد، کافی است روند تغییرات خروجیها را هنگام نزدیک شدن ورودی به نقطه هدف بررسی کند.
