|
ریاضی یازدهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۱
۱ تساویهای زیر را ثابت کنید.
الف) $\log_{c} abd = \log_{c} a + \log_{c} b + \log_{c} d$ ($c \neq ۱$ و $a$ و $b$ و $d$ اعداد حقیقی مثبتاند)
ب) $\log_{b} a = \frac{\log_{c} a}{\log_{c} b}$ ($a$ و $b$ و $c$ اعداد حقیقی مثبتاند و $c \neq ۱$ و $b \neq ۱$)
پ) $a^{\log_{a} b} = b$ ($a$ و $b$ اعداد حقیقی مثبتاند و $a \neq ۱$)
ت) $\log_{b} a \times \log_{a} b = ۱$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۱
این تمرین با هدف اثبات **قوانین و ویژگیهای اساسی لگاریتم** طراحی شده است. دانشآموز با حل این تساویها، درک عمیقتری از پیوند بین فرم نمایی و فرم لگاریتمی پیدا میکند.
**حل گامبهگام:**
**الف) اثبات لگاریتم حاصلضرب:**
۱. فرض کنید $\log_{c} a = x$، $\log_{c} b = y$ و $\log_{c} d = z$.
۲. طبق تعریف لگاریتم، داریم: $a = c^{x}$، $b = c^{y}$ و $d = c^{z}$.
۳. حالا حاصلضرب را تشکیل میدهیم: $abd = c^{x} \cdot c^{y} \cdot c^{z} = c^{x+y+z}$.
۴. مجدداً با استفاده از تعریف لگاریتم، توان را به دست میآوریم: $\log_{c} abd = x + y + z$.
۵. با جایگذاری مقادیر اولیه $x, y, z$ تساوی ثابت میشود.
**ب) اثبات قاعده تغییر مبنا:**
۱. فرض کنید $\log_{b} a = x$. پس $a = b^{x}$.
۲. از طرفین این تساوی در مبنای $c$ لگاریتم میگیریم: $\log_{c} a = \log_{c} b^{x}$.
۳. بر اساس ویژگی توان در لگاریتم: $\log_{c} a = x \log_{c} b$.
۴. با تقسیم طرفین بر $\log_{c} b$ داریم: $x = \frac{\log_{c} a}{\log_{c} b}$.
**پ) اثبات هویت اصلی لگاریتم:**
۱. فرض کنید $\log_{a} b = x$. طبق تعریف لگاریتم داریم: $a^{x} = b$.
۲. حال به جای $x$ در توان، مقدار معادل آن یعنی $\log_{a} b$ را قرار میدهیم: $a^{\log_{a} b} = b$.
**ت) اثبات معکوس بودن مبناها:**
۱. با استفاده از قاعده تغییر مبنا (بخش ب) داریم: $\log_{b} a = \frac{\log_{a} a}{\log_{a} b}$.
۲. میدانیم $\log_{a} a = ۱$.
۳. پس $\log_{b} a = \frac{۱}{\log_{a} b}$.
۴. با طرفین-وسطین کردن، داریم: $\log_{b} a \times \log_{a} b = ۱$.
**جمعبندی آموزشی:** این روابط به ما کمک میکنند تا لگاریتمهای پیچیده را ساده کرده یا مبنای لگاریتم را برای استفاده از ماشینحساب تغییر دهیم.
ریاضی یازدهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۲
۲ حاصل عبارتهای زیر را به دست آورید.
الف) $\log_{v} \sqrt[۵]{۴۹}$
ب) $\log_{۳} ۲۷^{\frac{۱}{۲}}$
پ) $-\log_{۵} ۱۲۵$
ت) $۳\log_{۱۰} \sqrt{۱۰۰۰}$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۲
هدف از این تمرین تسلط بر **محاسبه مقادیر لگاریتمی** با استفاده از تجزیه اعداد به پایههای مشترک و استفاده از ویژگی توانها است.
**حل گامبهگام:**
**الف) $\log_{۷} \sqrt[۵]{۴۹}$:**
۱. ابتدا ۴۹ را به صورت $۷^{۲}$ مینویسیم.
۲. رادیکال را به توان گویا تبدیل میکنیم: $\sqrt[۵]{۷^{۲}} = ۷^{\frac{۲}{۵}}$.
۳. داریم: $\log_{۷} ۷^{\frac{۲}{۵}}$. بر اساس ویژگی توان، حاصل برابر است با **$\frac{۲}{۵}$**.
**ب) $\log_{۳} ۲۷^{\frac{۱}{۲}}$:**
۱. عدد ۲۷ را به صورت $۳^{۳}$ مینویسیم.
۲. عبارت داخل لگاریتم میشود: $(۳^{۳})^{\frac{۱}{۲}} = ۳^{\frac{۳}{۲}}$.
۳. حاصل لگاریتم برابر است با توان پایه ۳، یعنی **$\frac{۳}{۲}$**.
**پ) $-\log_{۵} ۱۲۵$:**
۱. عدد ۱۲۵ برابر است با $۵^{۳}$.
۲. پس داریم: $-( \log_{۵} ۵^{۳} ) = -(۳)$.
۳. حاصل نهایی **$-۳$** است.
**ت) $۳\log_{۱۰} \sqrt{۱۰۰۰}$:**
۱. عدد ۱۰۰۰ برابر با $۱۰^{۳}$ است، پس $\sqrt{۱۰۰۰} = ۱۰^{\frac{۳}{۲}}$.
۲. عبارت میشود: $۳ \times \log_{۱۰} ۱۰^{\frac{۳}{۲}}$.
۳. حاصل برابر است با $۳ \times \frac{۳}{۲} =$ **$۴/۵$** یا **$\frac{۹}{۲}$**.
**جمعبندی آموزشی:** یاد گرفتیم که با تبدیل اعداد به فرم نمایی، محاسبه لگاریتم بسیار ساده میشود.
ریاضی یازدهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۳
۳ اگر $f(x) = ۳ - ۲\log_{۴} (\frac{x}{۲} - ۵)$ ، مقدار $f(۴۲)$ را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۳
در این تمرین، با مفهوم **جایگذاری در توابع لگاریتمی** و محاسبه مقدار عددی تابع در یک نقطه مشخص روبرو هستیم.
**حل گامبهگام:**
۱. **جایگذاری عدد:** مقدار $x = ۴۲$ را در ضابطه تابع قرار میدهیم:
$f(۴۲) = ۳ - ۲\log_{۴} (\frac{۴۲}{۲} - ۵)$
۲. **سادهسازی داخل پرانتز:**
$\frac{۴۲}{۲} = ۲۱ \Rightarrow ۲۱ - ۵ = ۱۶$
پس عبارت به این صورت در میآید: $f(۴۲) = ۳ - ۲\log_{۴} ۱۶$
۳. **محاسبه لگاریتم:** از آنجا که $۱۶ = ۴^{۲}$ است، پس $\log_{۴} ۱۶ = ۲$.
۴. **محاسبه نهایی:**
$f(۴۲) = ۳ - ۲(۲) = ۳ - ۴ = -۱$
**نکته آموزشی:** همیشه ابتدا عملیات داخل پرانتز (آرگومان لگاریتم) را انجام دهید و سپس به سراغ محاسبه لگاریتم بروید.
**جمعبندی آموزشی:** حاصل تابع در نقطه ۴۲ برابر با **$-۱$** است.
ریاضی یازدهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۴
۴ الف) اگر نمودار تابع با ضابطه $f(x) = \log_{a} x$ از نقطه $(۲, ۲)$ عبور کند، مقدار $a$ را به دست آورید.
ب) اگر نمودار تابع با ضابطه $f(x) = \log_{a} x$ از نقطه $(-۴, \frac{۱}{۲})$ عبور کند، مقدار $a$ چند است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۴
هدف این تمرین پیدا کردن **پارامتر مجهول (پایه لگاریتم)** با استفاده از یک نقطه معلوم روی نمودار است.
**حل گامبهگام:**
**الف) نقطه $(۲, ۲)$:**
۱. مختصات نقطه را در ضابطه جایگذاری میکنیم: $۲ = \log_{a} ۲$.
۲. تبدیل به فرم نمایی: $a^{۲} = ۲$.
۳. برای یافتن $a$ جذر میگیریم: **$a = \sqrt{۲}$**. (چون پایه لگاریتم باید مثبت باشد، $-\sqrt{۲}$ قابل قبول نیست).
**ب) نقطه $(-۴, \frac{۱}{۲})$:**
۱. مختصات را جایگذاری میکنیم: $\frac{۱}{۲} = \log_{a} (-۴)$.
۲. **بررسی دامنه:** طبق تعریف تابع لگاریتمی $y = \log_{a} x$، مقدار $x$ (آرگومان) حتماً باید **مثبت** باشد ($x > ۰$).
۳. چون در این نقطه $x = -۴$ است، این نقطه **نمیتواند** روی نمودار تابع لگاریتمی باشد. بنابراین مقدار $a$ وجود ندارد.
**نکته آموزشی:** در لگاریتم، پایه $a$ باید مثبت و مخالف ۱ باشد و عدد جلوی لگاریتم هم باید همیشه مثبت باشد.
**جمعبندی آموزشی:** برای بخش الف $a = \sqrt{۲}$ و بخش ب به دلیل منفی بودن $x$ فاقد جواب است.
ریاضی یازدهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۵
۵ نمودار تابع با ضابطه $y = \log_{\frac{۱}{۳}} x$ را رسم کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۵
این تمرین به مهارت **رسم نمودار توابع لگاریتمی** با پایه بین صفر و یک میپردازد.
**حل گامبهگام:**
۱. **تشکیل جدول نقاط:** چند عدد مناسب برای $x$ انتخاب میکنیم که توانهای پایه $\frac{۱}{۳}$ باشند:
| $x$ | $\frac{۱}{۹}$ | $\frac{۱}{۳}$ | $۱$ | $۳$ | $۹$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$ | $۲$ | $۱$ | $۰$ | $-۱$ | $-۲$ |
۲. **تحلیل رفتار تابع:** چون پایه ($ \frac{۱}{۳} $) کوچکتر از ۱ است، تابع **اکیداً نزولی** است.
۳. **رسم:** نقاط را در دستگاه مختصات مشخص کرده و با منحنی به هم وصل میکنیم. نمودار از نقطه $(۱, ۰)$ میگذرد و محور $y$ها مجانب عمودی آن است.
**جمعبندی آموزشی:** یاد گرفتیم که توابع لگاریتمی با پایه کسری (کوچکتر از یک) نموداری نزولی دارند.
ریاضی یازدهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۶
۶ کدام یک از گزارههای زیر درست و کدام نادرست است؟
الف) اگر $y = \log_{a} x$ ، آنگاه $a^{x} = y$.
ب) نمودار تابع با ضابطه $y = \log_{a} x$ ($۰ < a < ۱$) از نقطه $(۱, ۰)$ عبور میکند.
پ) لگاریتم اعداد منفی تعریف نمیشود.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۶
این تمرین به بررسی **مفاهیم و تعاریف پایه** لگاریتم میپردازد تا دانشآموز با ویژگیهای کلیدی آن آشنا شود.
**تحلیل گزارهها:**
* **الف) نادرست:** تعریف درست لگاریتم به این صورت است: اگر $y = \log_{a} x$ باشد، آنگاه **$a^{y} = x$**. در گزاره، جای $x$ و $y$ در عبارت نمایی اشتباه نوشته شده است.
* **ب) درست:** تمام توابع لگاریتمی به فرم $y = \log_{a} x$، صرفنظر از مقدار پایه $a$، در نقطه $x = ۱$ مقدار $y = ۰$ دارند (چون $a^{۰} = ۱$).
* **پ) درست:** طبق دامنه تابع لگاریتمی، عدد جلوی لگاریتم باید همواره مثبت باشد ($x > ۰$). بنابراین لگاریتم برای اعداد منفی و صفر **تعریف نشده** است.
**جمعبندی آموزشی:** درک دقیق رابطه نمایی-لگاریتمی و محدودیتهای دامنه برای حل سوالات بعدی ضروری است.
ریاضی یازدهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۷
۷ معادلات لگاریتمی زیر را حل کنید.
الف) $\log_{۳} (p^{۲} - ۲) = \log_{۳} p$
ب) $\log_{۵} (x + ۱) + \log_{۵} (x - ۱) = ۱$
پ) $۳\log_{۴} a - \log_{۴} ۵ = \log_{۴} ۲۵$
ت) $\log_{\frac{۱}{۱۰}} (x^{۲} - ۲۱) = -۲$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۷
هدف این تمرین تسلط بر **روشهای حل معادله لگاریتمی** و بررسی صحت جوابها در دامنه است.
**حل گامبهگام:**
**الف) $\log_{۳} (p^{۲} - ۲) = \log_{۳} p$:**
۱. چون پایهها برابرند، آرگومانها را مساوی قرار میدهیم: $p^{۲} - ۲ = p \Rightarrow p^{۲} - p - ۲ = ۰$.
۲. تجزیه: $(p - ۲)(p + ۱) = ۰$. جوابها: $p = ۲$ و $p = -۱$.
۳. **بررسی دامنه:** برای $p = ۲$ هر دو طرف مثبتاند (**قبول**). برای $p = -۱$ لگاریتم عدد منفی میشود (**رد**).
**ب) $\log_{۵} (x + ۱) + \log_{۵} (x - ۱) = ۱$:**
۱. تبدیل جمع به ضرب: $\log_{۵} (x^{۲} - ۱) = ۱$.
۲. فرم نمایی: $x^{۲} - ۱ = ۵^{۱} \Rightarrow x^{۲} = ۶ \Rightarrow x = \pm \sqrt{۶}$.
۳. **بررسی دامنه:** فقط $x = \sqrt{۶}$ هر دو پرانتز را مثبت میکند، پس فقط **$x = \sqrt{۶}$** جواب است.
**پ) $۳\log_{۴} a - \log_{۴} ۵ = \log_{۴} ۲۵$:**
۱. استفاده از ویژگیها: $\log_{۴} \frac{a^{۳}}{۵} = \log_{۴} ۲۵$.
۲. برابری آرگومانها: $\frac{a^{۳}}{۵} = ۲۵ \Rightarrow a^{۳} = ۱۲۵ \Rightarrow$ **$a = ۵$**. (در دامنه صدق میکند).
**ت) $\log_{\frac{۱}{۱۰}} (x^{۲} - ۲۱) = -۲$:**
۱. فرم نمایی: $x^{۲} - ۲۱ = (\frac{۱}{۱۰})^{-۲} \Rightarrow x^{۲} - ۲۱ = ۱۰۰$.
۲. حل معادله: $x^{۲} = ۱۲۱ \Rightarrow$ **$x = \pm ۱۱$**.
۳. **بررسی دامنه:** هر دو مقدار $۱۱$ و $-۱۱$ باعث میشوند $x^{۲} - ۲۱$ مثبت شود، پس هر دو **قابل قبول** هستند.
**جمعبندی آموزشی:** یاد گرفتیم که پس از حل هر معادله لگاریتمی، حتماً باید جوابها را در آرگومان اصلی چک کنیم.
