حل تمرین صفحه 104 ریاضی یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۴ - تمرین ۱ برای تشخیص **تابع نمایی**، باید به ساختار ضابطه دقت کنیم. یک تابع نمایی به فرم کلی $y = a^x$ است که در آن پایه ($a$) باید یک **عدد مثبت و مخالف یک** باشد ($a > ۰ , a \neq ۱$) و متغیر ($x$) حتماً در **توان** قرار داشته باشد. بررسی موارد: * **الف)** $y = ۲x^۲ - ۳x + ۱$: یک تابع درجه دوم (سهمی) است چون متغیر در پایه و توان عدد ثابت است. * **ب)** $y = x^۳$: یک تابع چندجمله‌ای (توانی) است. * **پ) $y = (۰/۱)^x$**: این یک **تابع نمایی** است. پایه آن $۰/۱$ (مثبت و مخالف ۱) و متغیر در توان است. * **ت) $y = (\frac{۳}{۲})^x$**: این هم یک **تابع نمایی** است. پایه آن $۱/۵$ است که شرایط تابع نمایی را دارد. * **ث)** $y - ۳x = ۲$: با مرتب‌سازی به $y = ۳x + ۲$ تبدیل می‌شود که یک تابع خطی است. * **ج)** $y = \sqrt{x - ۱}$: یک تابع رادیکالی است. **جمع‌بندی:** موارد **(پ)** و **(ت)** تابع نمایی هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۴ - تمرین ۲ برای اینکه بفهمیم یک نقطه روی نمودار یک تابع قرار دارد یا خیر، باید مختصات آن نقطه را در ضابطه تابع جایگذاری کنیم. اگر تساوی برقرار شد، نقطه روی نمودار است. بررسی نقاط در تابع $y = ۳^x$: * **الف) $(۱, ۰)$**: $۳^۱ = ۳ \neq ۰$ (نادرست) * **ب) $(۳, ۱)$**: $۳^۳ = ۲۷ \neq ۱$ (نادرست) * **پ) $(۰, ۱)$**: $۳^۰ = ۱$ (**درست**). نقطه روی نمودار است. * **ت) $(\sqrt{۳}, \frac{۱}{۳})$**: $۳^{\sqrt{۳}} \neq \frac{۱}{۳}$ (نادرست) * **ث) $(۱, ۳)$**: $۳^۱ = ۳$ (**درست**). نقطه روی نمودار است. * **ج) $(-۱, \frac{۱}{۳})$**: $۳^{-۱} = \frac{۱}{۳^۱} = \frac{۱}{۳}$ (**درست**). نقطه روی نمودار است. **نتیجه:** نقاط **(پ)**، **(ث)** و **(ج)** روی نمودار تابع قرار دارند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۴ - تمرین ۳ بیایید هر گزاره را به دقت تحلیل کنیم: * **الف)** جایگذاری در $y = ۵^x$: $۵^{\sqrt{۵}}$ قطعاً برابر $rac{۱}{۲}$ نیست. پس این گزاره **غلط** است. * **ب)** برای یافتن محل تقاطع با محور $y$، باید $x=۰$ قرار دهیم: $y = ۱۰^۰ = ۱$. نقطه تلاقی $(۰, ۱)$ است، نه $(۰, ۱۰)$. پس این گزاره **غلط** است. * **پ) دامنه توابع**: دامنه تابع نمایی $y = ۲^x$ مجموعه اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) است. دامنه تابع سهمی $y = x^۲$ نیز مجموعه اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) است. چون $D_۱ = D_۲ = \mathbb{R}$، این گزاره **صحیح** است. * **ت)** تابع نمایی $y = ۶^x$ همواره مثبت است ($y > ۰$) و هرگز محور $x$ها را قطع نمی‌کند. پس این گزاره **غلط** است. **پاسخ نهایی:** گزاره **(پ)** صحیح است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۴ - تمرین ۵ در این تمرین کافی است عدد داده شده را به جای متغیر $x$ در ضابطه مربوطه قرار دهیم: * **الف) محاسبه $f(۳)$**: در تابع $f(x) = ۳^x$ قرار می‌دهیم: $$f(۳) = ۳^۳ = ۳ \times ۳ \times ۳ = ۲۷$$ * **ب) محاسبه $g(-۱)$**: در تابع $g(x) = (\frac{۱}{۱۶})^x$ قرار می‌دهیم: $$g(-۱) = (\frac{۱}{۱۶})^{-۱}$$ می‌دانیم توان منفی باعث **معکوس شدن** پایه می‌شود، پس: $$g(-۱) = ۱۶^۱ = ۱۶$$ * **پ) محاسبه $h(-۲)$**: در تابع $h(x) = ۱۰^x$ قرار می‌دهیم: $$h(-۲) = ۱۰^{-۲}$$ با استفاده از قاعده توان منفی: $$h(-۲) = \frac{۱}{۱۰^۲} = \frac{۱}{۱۰۰} = ۰/۰۱$$ این تمرین به خوبی نشان می‌دهد که چگونه توان‌های منفی و مثبت در توابع نمایی عمل می‌کنند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۴ - تمرین ۶ برای حل **معادلات نمایی**، استراتژی اصلی این است که پایه‌های دو طرف تساوی را **یکسان** کنیم. وقتی پایه‌ها برابر شدند، می‌توانیم توان‌ها را مساوی هم قرار دهیم. * **الف) $۲^{۳n - ۲} = \frac{۱}{۳۲^۲}$**: می‌دانیم $۳۲ = ۲^۵$. پس $\frac{۱}{(۲^۵)^۲} = \frac{۱}{۲^{۱۰}} = ۲^{-۱۰}$. $$۲^{۳n - ۲} = ۲^{-۱۰} \Rightarrow ۳n - ۲ = -۱۰ \Rightarrow ۳n = -۸ \Rightarrow n = -\frac{۸}{۳}$$ * **ب) $۹^{۳y - ۳} = ۲۷^{y + ۱}$**: پایه مشترک ۳ است ($۹=۳^۲$ و $۲۷=۳^۳$): $$(۳^۲)^{۳y - ۳} = (۳^۳)^{y + ۱} \Rightarrow ۳^{۶y - ۶} = ۳^{۳y + ۳}$$ $$۶y - ۶ = ۳y + ۳ \Rightarrow ۳y = ۹ \Rightarrow y = ۳$$ * **پ) $۴^{۳x + ۲} = \frac{۱}{۶۴^۳}$**: پایه مشترک ۴ است ($۶۴=۴^۳$): $$۴^{۳x + ۲} = \frac{۱}{(۴^۳)^۳} = \frac{۱}{۴^۹} = ۴^{-۹}$$ $$۳x + ۲ = -۹ \Rightarrow ۳x = -۱۱ \Rightarrow x = -\frac{۱۱}{۳}$$ * **ت) $۹^x = ۳^{x^۲ - ۴x}$**: پایه ۹ را به $۳^۲$ تبدیل می‌کنیم: $$(۳^۲)^x = ۳^{x^۲ - ۴x} \Rightarrow ۳^{۲x} = ۳^{x^۲ - ۴x}$$ $$۲x = x^۲ - ۴x \Rightarrow x^۲ - ۶x = ۰ \Rightarrow x(x - ۶) = ۰$$ جواب‌ها: **$x=۰$** و **$x=۶$** * **ث) $(\frac{۳}{۵})^{x + ۱} = \frac{۲۵}{۹}$**: می‌دانیم $\frac{۲۵}{۹} = (\frac{۵}{۳})^۲$. برای یکسان‌سازی پایه، آن را معکوس می‌کنیم: $$(\frac{۳}{۵})^{x + ۱} = (\frac{۳}{۵})^{-۲}$$ $$x + ۱ = -۲ \Rightarrow x = -۳$$